1.4 Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений

переходных колебаний

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных по времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения при f(t)=0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует свободные процессы в цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии. Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации. Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующим установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем, что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают.

Частное решение уравнения определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС.

Рассмотрим это на примере процесса в RL-цепи первого порядка.

В цепях первого порядка переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями первого порядка:

Пусть при t=0 RL-цепь подключается к источнику постоянного напряжения U (рис 1.2)

Рис. 1.2

Из рисунка 1.2 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому

i_L(0_) = 0, (1.10)

т.е. цепь имеет нулевые начальные условия.

После замыкания ключа (коммутации) в цепи имеет место переходной процесс. В качестве переменной дифференциального уравнения выберем ток в цепи, который совпадает с током в индуктивности i_L, и составим дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:

(1.11)

Решение уравнения (1.11) ищем по формуле

i_L = i_пр+i_св, (1.12)

где i_пр определяем в режиме, установившемся после коммутации цепи (рис. 1.3)

Рис. 1.3

i_пр=U/R,

а i_св определяем как общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

. (1.13)

В (1.13) А – постоянная интегрирования, которая определяется с использованием первого закона коммутации (1.7) и начального условия цепи (1.10):

i_L(0₊) = i_пр+A=i_L(0_-) = 0, откуда

A =- i_пр = -U/R;

р – корень характеристического уравнения:

R+pL = 0. (1.14)

Решая уравнение (1.14), получим:

Следовательно, решение уравнения (1.11) запишется так:

В нем слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения (1.11), а слагаемое -общее решение однородного уравнения

Частное решение неоднородного дифференциальногоуравнения называется принужденной составляющей переходного колебания, а полное решение однородного уравнения – свободной составляющей.

Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Так, если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты ω, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме представляет собой соответственно синусоидальный ток или синусоидальное напряжение частоты ω.

Во всех линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е^pt.Так, в рассмотренном примере

.

С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название «свободная» составляющая объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, «свободного» от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).