12. Интегрирование простейших иррациональностей
Рассмотрим интеграл от иррациональных функций вида
(12.1)
где
рациональная
функция своих аргументов. Пусть наименьшее
общее кратное знаменателей
равно
:
НОК(
)=
.
Сделаем замену
.
Тогда каждая дробная
степень
выразится через целую степень
.
Подынтегральная функция преобразуется
в рациональную функцию от переменной
.
Пример 1.
Вычислить интеграл
.
Решение: Исходный интеграл является интегралом вида (12.1). Имеем
.
В подынтегральном
выражении делим числитель на знаменатель.
Получим (проверьте)
.
Интеграл принимает вид:
Подынтегральное выражение во втором интеграле представляем в виде суммы простейших дробей первого и третьего типа:
Неопределенные
коэффициенты здесь принимают значения
(убедитесь сами):
Тогда имеем
Интеграл принимает вид
Выполняя замену
,
окончательно имеем
Рассмотрим интеграл от иррациональных функций вида
. (12.2)
Пусть НОК
Замена
Подынтегральная функция преобразуется
в рациональную функцию, зависящую от
переменной
.
Пример 2.
Вычислить интеграл
Решение:
=
В интеграле вида
предпочтительна подстановка
Пример 3.
Найти интеграл
.
Решение:
