Лекция 5
8. Метод неопределенных коэффициентов.
Схема интегрирования рациональной дроби
Вычисление интеграла
(8.1)
от рациональной
дроби
(
– многочлены степеней
соответственно) сводится к следующему:
проверяют, является ли рациональная функция правильной рациональной дробью ( ). Если она не является таковой (
),
то сначала необходимо разделить
столбиком многочлен
на многочлен
,
в результате чего
выделятся неполное частное
,
являющееся многочленом степени
,
и рациональная функция
,
являющаяся правильной рациональной
дробью (
);
2) раскладывают исходную рациональную дробь (если она являлась правильной) или полученную правильную рациональную дробь (если являлась неправильной) на сумму простейших дробей. При этом необходимо определить все коэффициенты разложения (см. ниже);
3) вычисляют интегралы от многочлена (интегралы от степенных функций), а также интегралы от простейших дробей.
Пример 1.
Вычислить интеграл
.
Решение:
Заметим, что подынтегральная функция
является правильной рациональной
дробью. Поэтому разложим ее на сумму
простейших дробей. Исходное разложение
имеет вид
. (8.2)
Найдем коэффициенты
по методу
неопределенных коэффициентов.
Для этого правую часть равенства (6.2)
приведем к общему знаменателю:
Приравняем
числитель полученной дроби к числителю
исходной функции
,
то есть
.
(8.3)
Из полученного равенства (6.3) и найдем неизвестные коэффициенты . Существуют два способа нахождения этих коэффициентов: способ сравнения коэффициентов и способ частных значений (эти два метода равносильны, а их использование зависит от конкретной задачи).
Поясним смысл
способа
сравнения коэффициентов.
Раскрыв левую часть равенства (6.3),
выделим коэффициенты при одинаковых
степенях
:
.
Полученный многочлен (с неизвестными коэффициентами) должен по условию равняться многочлену , а два многочлена равны только в том случае, когда равны коэффициенты при соответственных степенях переменной . В результате получаем систему
Решив эту систему
методом Гаусса, получим
.
Удобно здесь
применить способ
частных значений, состоящий
в том, что в левую и правую части равенства
(8.3) подставляют какие-то частные (удобные)
значения аргумента
(такими являются часто корни знаменателя
или еще какие-то значения). Тогда задача
нахождения неизвестные коэффициентов
значительно упрощается. В данном случае
в равенство (8.3) удобно подставить
значения
(корни знаменателя функции
),
.
Получим (см. равенство (8.3))
,
,
Легко и в этом случае найти коэффициенты .
Итак, найдя коэффициенты , разложение (8.2) примет вид
Окончательно вычисляем интеграл =
Пример 2.
Вычислить интеграл
.
Решение: В примере подынтегральная функция не является правильной рациональной дробью ( , ). Используя метод выделения целой части (многочлена), получим
.
Теперь необходимо
правильную рациональную дробь
=
разложить на простейшие дроби.
Соответствующее разложение будет иметь
следующий вид
=
(8.4)
Найдем коэффициенты
по методу неопределенных коэффициентов
(методом сравнения коэффициентов). Для
этого приведем правую часть равенства
(8.4) к общему знаменателю
,
откуда получим
равенство
для нахождения коэффициентов
.
Переходя от последнего равенства к
системе (приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях аргумента
)
найдем
.
Итак, имеем
окончательно,
Теперь не вызывает трудности вычислить
исходный интеграл от функции
:
