Лекция 6

9. Интегрирование тригонометрических выражений. Метод универсальной тригонометрической подстановки.

Рассмотрим неопределенный интеграл вида

, (9.1)

где – рациональная функция своих переменных . Интеграл (9.1) с помощью универсальной тригонометрической подстановки преобразуется в интеграл от рациональной функции одного переменного . Используя формулы

, , , , (9.2)

получим

. (9.3)

Пример 1. Вычислить .

Решение: Применяя подстановку , и учитывая формулы (9.2), получим

C помощью универсальной тригонометрической подстановки легко вычисляются интегралы вида .

Пример 2. Вычислить .

Решение: Применяя подстановку , и учитывая формулы (9.2), получим

Последний интеграл является интегралом от правильной рациональной дроби. Раскладывая подынтегральную функцию на простейшие дроби, и применяя метод неопределенных коэффициентов, получим

Окончательно , где .

10. Частные тригонометрические подстановки

В некоторых случаях подстановка приводит к сложным вычислениям интеграла от рациональной функции (знаменатель полученной дроби трудно разложить на множители). Тогда предпочтительнее использовать некоторые частные подстановки. Выбор подстановки зависит от структуры подынтегральной функции . При этом:

1. если функция – нечетная относительно переменной (то есть синуса): , то предпочтительнее подстановка ;

2. если функция – нечетная относительно переменной (то есть косинуса): , то предпочтительнее подстановка ;

3. если функция – четная относительно совокупности своих переменных , : , то предпочтительнее подстановка .

Пример 1. Вычислить .

Решение: Подынтегральная функция – нечетная относительно переменной (относительно синуса). Примем . Тогда , . Исходный интеграл примет вид

Рассмотрим интеграл Возникают случаи:

а) если хотя бы одно из чисел или - нечетное число; пусть то

,

получили интеграл от рациональной функции;

б) если и - неотрицательные четные числа ( ). Используя формулы понижения степени , получим

после преобразований получим интегралы вида

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Имеем случай б. Применяем формулы понижения степени

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. В данном случае подынтегральная функция четная относительно совокупности своих переменных , : . Предпочтительнее применить подстановку . Имеем

=

Для вычисления интегралов вида

применяем соответственно формулы преобразований произведения функций косинуса и синуса в сумму:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Имеем

Лекция 7

11. Интегрирование квадратичных иррациональностей

Рассмотрим интеграл вида

, (11.1)

где – рациональная функция переменных . Выделяя под корнем полный квадрат трехчлена и делая соответствующую линейную замену, интеграл вида (8.1) всегда можно свести к одному из интегралов

.

Для каждого из полученных интегралов существуют так называемые тригонометрические подстановки, позволяющие свести их к интегралам от тригонометрических функций.

Для интеграла

(11.2)

удобна подстановка . Тогда , . В результате этой подстановки получается в общем случае интеграл, подынтегральная функция которого содержит синусы и косинусы. Для его нахождения можно воспользоваться результатами предыдущих параграфов. Найдя интеграл, необходимо перейти от переменной к переменной , если учесть, что . Заметим, что здесь подойдет также подстановка .

Для вычисления интеграла

(11.3)

удобно применить подстановку ( ). Тогда ,

. Здесь интеграл (11.3) также преобразуется в интеграл от тригонометрических функций.

Для вычисления интеграла

(11.4)

применяется подстановка . Тогда , .

Интеграл (11.4) преобразуется в интеграл от тригонометрических функций.

Следует заметить, что после вычисления интеграла по переменной всегда необходимо вернуться к старой переменной , для чего применяются формулы, выражающие тригонометрические функции через переменную и соответствующие выражения , , .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Исходный интеграл относится к интегралам вида (11.2). Используем подстановку ( ). Тогда

Пример 2. Вычислить .

Решение: Этот интеграл относится к интегралам вида (11.3), так как содержит радикал . Сделаем подстановку . Имеем

Вернемся к переменной . Учитывая, что , получим . Далее так как , то . В итоге

.

В некоторых случаях интегралы (11.1) от иррациональных функций при помощи специальных подстановок сводятся к интегралам от рациональных функций (см. таблица 11.1).

Таблица 11.1.

Тип интеграла		Способ интегрирования
1.	,	Подстановка Эйлера
2.	,	Подстановка Эйлера
3.	,	Подстановка Эйлера или