Лекция 2

3. Интегрирование путем замены переменной

Существуют два варианта вычисления неопределенного интеграла методом замены переменной: метод подстановки и метод подведения под знак дифференциала, в которых одна и та же формула используется слева направо и справа налево.

Метод подстановки

Пусть требуется вычислить неопределенный интеграл . Введем новую переменную путем замены таким образом, чтобы функция была дифференцируемой и имела обратную функцию . Далее, справедливой оказывается следующая формула:

, (3.1)

где интеграл справа может оказаться проще исходного интеграла. После вычисления интеграла справа следует вернуться к исходной переменной .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим знаменатель подынтегральной функции буквой , т.е. введем сначала обратную функцию . Тогда , . Заметим, что . Применяем формулу (3.1):

где (введена новая произвольная постоянная).

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть подынтегральная функция может быть представлена в виде

.

Применим формулу (3.1) справа налево. При этом заменим функцию за новую переменную ( ). Тогда получим . В результате получим следующую схему вычисления интеграла:

, (3.2)

где полученный интеграл справа вычисляется проще, чем исходный интеграл, или вообще сводится к одному из табличных интегралов. После его вычисления необходимо вернуться к переменной , учитывая .

Заметим, что при этом способе не требуется выражать через . Свое название этот метод получил потому, что в процессе преобразования

функция подводится под знак дифференциала. Причем, при достаточном опыте применения этого метода функцию воспринимают как единую переменную мысленно и на бумаге ее уже не заменяют переменной .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Замечая, что , применим формулу (3.2):

,

или же, обозначая буквой только мысленно, получаем то же самое:

.

Пример 3. Вычислить , .

Решение. Замечая, что , применим формулу (3.2):

,

или же, обозначая буквой только мысленно, получаем то же самое:

.

Во втором интеграле замечаем, что если обозначить , то . Применяя формулу (3.2), получим

.

Формула (3.2) успешно применяется и в том случае, если для представления подынтегральной функции в форме не хватает всего лишь постоянного множителя, на который подынтегральную функцию следует умножить, а интеграл – разделить на такое же число.

Пример 4. Вычислить , .

Решение. Замечаем, что , т.е. в подынтегральном выражении не хватает множителя 1/2. В связи с этим в прямых скобках сделаем дополнительные преобразования:

Пример 5. Вычислить , , .

Решение. Для вычисления первого интеграла примем , так как , :

.

Для вычисления второго интеграла примем , так как , :

Для вычисления третьего интеграла примем , так как :

При вычислении некоторых интегралов приходится несколько раз применять метод замены переменной.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Для вычисления интеграла примем сначала , тогда . Получаем по формуле (2.2):

.

К полученному интегралу теперь применим замену , так как . В результате