- •Основные понятия и законы теории электрических цепей
- •Электрическая цепь и ее элементы
- •Структура электрической цепи
- •Законы Кирхгофа
- •Преобразование линейных пассивных электрических цепей
- •Обобщенный закон Ома
- •Баланс мощности
- •Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
- •Расчет неразветвленных цепей
- •Расчет разветвленных цепей с одним источником
- •Расчет разветвленных цепей с несколькими источниками
- •Метод уравнений Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Метод наложения
- •Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)
Метод контурных токов
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т.е. . Следовательно, этот метод более экономичен при вычислениях, чем метод уравнений Кирхгофа.
Разработаем алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере приведенной на рис. 2.3. схемы, в которой три независимых контура. Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов и(ветвьbd, содержащая сопротивление ) протекает ток, по смежной ветви для контурных токови(ветвьdс, содержащая сопротивление ) протекает ток, по смежной ветви для контурных токови(ветвьаd, содержащая сопротивление ) протекает ток.
Сгруппируем слагаемые при одноименных токах:
(2.5)
Введем обозначения:
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
(2.6)
в матричной форме
(2.7)
Собственное сопротивление контура (Rii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i-ом контуре.
Общее сопротивление контура (Rij = Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i-ому и j-ому контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно.
Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.
Решение полученной системы удобно выполнить методом Крамера
, (2.8)
где , 1, 2, 3, – соответственно определители матриц:
(2.9)
По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей.
Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом контурных токов следующая:
Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2.3).
Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Если в цепи содержится q источников тока, количество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и становится равным р – q, поскольку токи в таких ветвях известны (для контуров с Iii = J уравнение можно не записывать). В этом случае следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, чтобы часть из них стала известными. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Напряжения UJ источников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС.
Пример.
Тогда система уравнений по методу контурных токов примет следующий вид:
Причем, , решив первое уравнение, можно получить. Далее
UJ можно определить из второго уравнения системы или, составив уравнение по II закону Кирхгофа для любого контура, в который входит источник тока.
Баланс мощности: