Монотонные последовательности.

Определение.

1. Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2. Если x_n+1  x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3. Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4. Если x_n+1  x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность х₁  х₂  х₃  …  х_n  x_n+1  … Эта последовательность ограничена сверху: x_n  M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого >0 существует такое число N, что x_N > a - , где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n а -  < x_N  x_n,

x_n > a - . Отсюда a -  < x_n < a + 

- < x_n – a <  или x_n - a< , т.е. lim x_n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, nN (x_nx₀), сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nN, сходится к числу А ( ).

В этом случае, геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ (т.е. хх₀), если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< .

То же определение может быть записано в другом виде:

.

y f(x)

A + 

A

A - 

0 х₀ -  х₀ х₀ +  x

Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки А найдется такая -окрестность точки х₀, что для всех хх₀ из этой -окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в -окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми у=А+ и у=А-.