2.1. Вычисление корней уравнения с одним неизвестным

Пусть задана непрерывная функция

f(x) = 0. (1)

Требуется найти все или некоторые корни уравнения (1).

Задача распадается на следующие:

1. исследование количества, характера и распределения корней;

2. нахождение приближенных значений корней;

3. вычисление с требуемой точностью интересующих нас корней.

Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами.

Рассмотрим пример аналитического метода. Доказано [6], что полином имеет n комплексных корней, не обязательно различных, и все корни лежат внутри круга:

Когда ищутся только действительные корни, можно составить таблицу f(x). Если в соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (1). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. По таблице можно построить график y = f(x) и графически найти точки пересечения с осью абсцисс.

Иногда удается заменить уравнение (1) на эквивалентное f₁(x) = f₂(x), в котором f₁(x) и f₂(x) имеют несложные графики, например, xsinx-1 = 0 заменяется на . Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения. Приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами.

2.1.1. Метод дихотомии

Пусть мы нашли такие точки x₀, x₁, что f(x₀)f(x₁)  0, т.е. на отрезке [x₀,x₁] лежит не менее одного корня уравнения (1). Найдем середину отрезка и вычислим f(x₂). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(x₂)f(x_Г)  0, т.к. один корень лежит на этой половине (здесь x_Г - граничные значения исходного отрезка, т.е. x₀ и x₁). Затем новый отрезок делим пополам и т.д.

Если требуется найти корень с точностью , то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.

Достоинства метода:

1. к простому корню алгоритм сходится для любых непрерывных функций f(x);

2. алгоритм устойчив к ошибкам округления;

3. точность ответа гарантируется.

Недостатки метода:

1. для начала расчета нужно знать отрезок, на котором функция меняет знак;

2. скорость сходимости невелика (уточнение трех значащих цифр требует приблизительно 10 итераций);

3. если в отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс;

4. метод неприменим к корням четной кратности.

2.1.2. Метод простых итераций

Заменим уравнение (1) эквивалентным ему уравнением x = F(x), например,

F(x) = x + f₁(x)f(x),

где f₁(x) - произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем какое-либо нулевое приближение x₀ и вычислим дальнейшие приближения x_n+1=F(x_n), n=0,1,2, Если x_n стремится к некоторому пределу , то - корень уравнения (1).

Если F(x) имеет непрерывную производную, то

По теореме Лагранжа, если функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то найдется по крайней мере одна точка a < z < b, в которой выполняется равенство: Тогда где x_n < z < . И поэтому, если всюду , то отрезки |x_n- | убывают не медленнее членов геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, и последовательность {x_n} сходится при любом x₀.

Если , то в силу непрерывности и в некоторой окрестности корня итерации могут не сходиться. Если , но вдали от корня , то итерации сходятся, если х₀ выбрано достаточно близко к корню. Вблизи корня итерации сходятся как геометрическая прогрессия со знаменателем q=(x_n-x_n-1)/(x_n-1-x_n-2). Чтобы сумма ее дальнейших членов не превосходила , должен выполняться критерий сходимости:

.

При выполнении этого условия итерационный процесс прекращается. Геометрическая интерпретация метода простых итераций представлена на рис.1.

Рис.1. Метод простых итераций