- •Курс лекций по теории электрических цепей
- •Основные определения, понятия и законы в теории электрических цепей
- •Закон Омадля участка цепи, не содержащего эдс:
- •Законы Кирхгофа
- •Цепи однофазного синусоидального тока
- •Среднее и действующее значение периодической функции
- •Элементы r,l,Cв цепях синусоидального тока
- •Сопротивление (r)
- •Индуктивность (l)
- •Ёмкость (с)
- •Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока, мощности) векторами на комплексной плоскости
- •Основы символического или комплексного расчета цепей синусоидального тока
- •Резонанс напряжений
- •Параллельное соединение элементов r,l,c
- •Проводимости
- •Резонанс токов
- •Частотные характеристики параллельного колебательного контура
- •Мощности
- •Выражение мощности в комплексной форме
- •Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному
- •Коэффициент мощности
- •Методы расчета сложных цепей
- •Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Метод двух узлов
- •Принцип наложения, метод наложения
- •Входные и взаимные проводимости
- •Свойство взаимности
- •Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование
- •Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
- •Трехфазные цепи
- •Трехфазный генератор
- •Способы соединения фаз генератора и нагрузки звездой и треугольником
- •Соединение фаз генератора и приемника четырехпроводной звездой
- •4.2.2. Соединение фаз генератора и приемника треугольником.
- •Режимы работы трехфазных цепей
- •Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода
- •1. Симметричная нагрузка
- •2. Несимметричная нагрузка
- •3) Обрыв фазы
- •4) Короткое замыкание фазы
- •5) Разнородная нагрузка
- •Соединение потребителей «треугольником»
- •Мощность трехфазной цепи
- •Измерение мощности в трехфазных цепях
- •Метод симметричных составляющих
- •Фильтры симметричных составляющих
- •Получение вращающегося Магнитного поля
- •Пульсирующее магнитное поле
- •Вращающееся магнитное поле системы двух катушек
- •Вращающееся магнитное поле системы трёх катушек
- •Цепи со взаимной индуктивностью
- •Эдс взаимоиндукции
- •Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности
- •Последовательное согласное соединение катушек
- •Последовательное встречное соединение
- •Параллельное согласное соединение
- •Параллельное встречное соединение
- •Расчет разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности
- •"Развязывание" магнитосвязанных цепей
- •Линейный (воздушный) трансформатор
- •Вносимое сопротивление трансформатора
- •Несинусоидальные токи
- •Разложение периодической функции в тригонометрический ряд
- •Амплитудное, среднее и действующее значения периодических несинусоидальных функций
- •Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических функций
- •Мощность периодических несинусоидальных токов
- •Несинусоидальные функции с периодической огибающей
- •Модуляция
- •Резонансные явления в цепях с несинусоидальными источниками
- •Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками
- •Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •Высшие гармоники при соединении фаз источника и приемника звездой:
- •Высшие гармоники при соединении фаз генератора и приемника треугольником
Несинусоидальные функции с периодической огибающей
В отличие от периодических функций, рассмотренных выше, существуют несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими. Для них характерно то, что они имеют конечное число слагаемых в разложении. Причем, частоты огибающих и составляющих ряда несоизмеримы. Классическим примером таких функций являются биения и модуляция.
Биения
Функция биения представляет собой сумму двух синусоидальных колебаний, имеющих одинаковые амплитуды и близкие, но не равные частоты.
f1 = Amsinω1t, f2 = Amsinω2t, причемω1 > ω2, ω1 ≈ ω2.
Сумма этих функций:
.
Обозначим
; .
Тогда
; ω>>Ω.
Рис.7.105. График функции биения
Из Рис. 7 .105 следует, что частота огибающей или частота биений fб = /равняется числу максимумов огибающей кривой в единицу времени.
Период биений Тбне равен периоду кривойf(t):
;
Если отношение / = 2k – 1составляет целое нечетное число, то период биений совпадает с периодом кривой f(t).
В случае, когда период биений и период огибающей несинусоидальны, т.е. их отношение не равно целому числу, результирующее колебание является квазипериодическим.
Модуляция
Синусоидальные колебания характеризуются тремя основными параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. В случае, когда один из этих параметров медленно меняется во времени по некоторому периодическому закону, то говорят об амплитудной, частотной или фазовой модуляции. Рассмотрим данное явление на примере амплитудной модуляции, которая может быть представленна функцией вида:.
f(t) = Am(t)sinωоt,
где Am(t)– меняется по некоторому периодическому закону.
f(t) = Aоm(1 – mcos(Ωt))sinωоt; ωо >> Ω
ωо– несущая частота;
Ω– модулирующая частота;
m < 1– коэффициент(глубина) модуляции. Он показывает отклонение амплитуды модулирующего колебания от некоторого среднего значения.
f(t) = Aоmsinωоt + Aоmmcos(Ωt)sin(ωоt;.
f(t) = Aоmsinωоt + 0,5Aоmm·[sin((ωо – Ω)t) + sin((ωо+Ω)t)].
Полученный результат показывает, что модулирование по амплитуде колебания являются суммой трех колебательных составляющих. Одно происходит с несущей частотой ωо. Два других–с боковыми частотами(ωо – Ω )и(ωо + Ω ). Сказанное позволяет построить результирующую функцию:
Рис.7.106. График модулированных по амплитуде колебаний
Этот вид модуляции далеко не лучший, поскольку он в наибольшей степени подвержен помехам. Для повышения помехоустойчивости используются комбинированные методы модуляции.
Резонансные явления в цепях с несинусоидальными источниками
Рассматривая однофазные синусоидальные цепи, мы познакомились с явлением резонанса. Указанные явления имеют место в цепях и с несинусоидальными источниками, однако, в этом случае они имеют определенную специфику, связанную с тем обстоятельством, что резонанс может возникнуть как на основной, так и на высших гармониках.
Для последовательного контура в цепях с несинусоидальным источником условие резонанса будет задано соотношением:
,
где ω- частота основной гармоники;k– номер гармоники.
Рис.7.107. Зависимость тока от индуктивности
.
Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками
1. Заданную несинусоидальную функцию, питающую цепь, раскладывают в ряд Фурье и ограничиваются при этом тремя четырьмя членами ряда, включая постоянную составляющую, если они есть.
2. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей производится расчет токов и напряжений заданной цепи. При этом используется комплексный метод расчета. Эта процедура выполняется для всех гармоник ряда, включая и постоянную составляющую, которая эквивалентна цепи с постоянным током.
Комплексное решение, полученное на каждой из гармоник складывать нельзя, с целью получения обобщенного решения задачи. Эту процедуру мешает выполнить то обстоятельство, что соответствующее полученным решениям векторы будут вращаться с различными угловыми частотами, поэтому полученные комплексные решения должны быть переведены в реальные функции времени и лишь затем просуммированы, основываясь на принципе наложения.
Сказанное проиллюстрируем примером.
a)b)
Рис.7.108. Форма подаваемого напряжения (a) и схема исследуемой цепи (b)
Uвх = 100Вдействующее значение (для первой гармоники),XL = 25 Ом, XC = 100 Ом, R = 50 Ом.
Определить действующее напряжение на выходе, ограничиваясь первыми тремя членами ряда, на который можно разложить функцию uвх(ωt).
Используя известное разложение, получим:
;
;
;
Для определения функции выходного напряжения составим передаточную функцию исходной цепи, которая связывает входное и выходное напряжения и является частотно-зависимой:
;;;
;;;
.
При k = 0 .
При k = 2 .
Полученный результат показывает, что амплитуда выходного сигнала в точности равна амплитуде входного. Фаза выходного напряжения на этой же гармонике опережает фазу входного напряжения на 90˚.
При k = 4 .
Используя полученный результат, трансформируем входной ряд напряжения и получим соответствующий ряд выходного напряжения в реальном времени.
;
.
В случае если на выходе появилась бы постоянная составляющая, то ее также необходимо учесть, путем внесения под знак корня квадрата ее величены (делить на нельзя).