Тема 6. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

1. В классической механике всегда одновременно можно измерить координату и импульс (скорость) тела. Для микрочастицы это сделать невозможно.

Для микрочастиц выполняется соотношение неопределенностей Гейзенберга (1927 г.)

ħ (6.1)

Произведение неопределенности координаты (∆х) на неопределенность проекции импульса ( ) не меньше постоянной Планка.

Здесь ħ = h/2π  постоянная Планка.

При точном измерении координаты погрешность ее измерения стремится к нулю ∆х → 0, тогда неопределенность импульса

стремится к бесконечности, значит точно измерить импульс нельзя.

При точном измерении импульса его неопределенность стремится к нулю → 0, тогда неопределенность координаты

стремится к бесконечности, значит точно измерить координату нельзя.

Выведем соотношение неопределенностей для дифракции электрона.

Электроны движутся через щель шириной (рис.20.2.1). На экране Э под углом наблюдается первый дифракционный минимум, для которого можно записать

.

Справа от экрана представлен график распределения интенсивности электронов на экране при дифракции. Для данного случая учитываем, что ширина щели равна и для первого минимума порядок спектра , получаем

. (6.2)

Обозначим р импульс электрона, проходящего через щель в направлении первого минимума.

Из чертежа для проекции импульса электрона на ось Х можно записать

. (6.3)

Из формулы (6.2) определим синус угла и подставим его в формулу (6.3)

. (6.4)

Импульс электрона находим из формулы длины волны де Бройля

,

учитывая его в в формуле (20.2.4), получим

;

или

. (6.5)

Для электронов, попадающих на экран дальше первого минимума, можно записать

.

Проводя расчеты аналогичные предыдущему случаю, получим

. (6.6)

Объединяя обе формулы (6.5) и (6.6), можно записать соотношение неопределенностей для импульса и координаты

.

Постоянная Планка h > ħ, т.к. ħ = , поэтому опять выполняется соотношение (6.1).

Рассмотрим пример 3. Электрон в атоме движется со скоростью

~10⁶ м/с в области ~10^10м.

Вычислим погрешность измерения скорости электрона

= ~10⁶ м/с.

Получили, что неопределенность скорости (погрешность измерения) и само значение скорости электрона одного порядка, значит, скорость электрона точно измерить одновременно с координатой нельзя.

При движении частицы в пространстве соотношение неопределенностей будет иметь следующий вид

ħ; ħ; ħ.

Физический смысл соотношения неопределенностей заключается в том, что оно устанавливает границы применимости классической механики: для микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул) необходимо применять законы квантовой механики.

2. Соотношение неопределенностей для энергии и времени записывают в следующем виде:

ħ.

Произведение неопределенности энергии системы на неопределенность длительности процесса измерения не меньше постоянной Планка.

Если среднее время жизни частицы , то в течение этого времени частица может иметь разные значения энергии Е, т.е. может находиться в атоме в разных состояниях, которым соответствуют разные значения энергии. Интервал разрешенных значений энергии частицы равен неопределенности энергии .