Тема 5. Длина волны де Бройля

В 1924 году французский физик Луи де Бройль предположил, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотону, но и микрочастицам (атомам, молекулам, элементарным частицам). Это значит, что микрочастицы имеют не только корпускулярные свойства, но и волновые свойства. С движущейся частицей можно связать длину волны де Бройля

, (5.1)

где h  постоянная Планка, в знаменателе масса и скорость частицы.

Импульс тела равен , тогда длину волны де Бройля можно записать в виде

.

При большом импульсе тела длина волны де Бройля мала и не влияет на физические свойства тела. У микрочастиц (электронов и др. элементарных частиц, атомов, молекул) импульс маленький из-за малости массы частицы и длина волны достаточная для того, чтобы проявлялись волновые свойства.

У движущихся микрочастиц наблюдаются волновые явления: интерференция и дифракция.

Дифракцию электронов впервые наблюдали К. Дэвисон и Л. Джермер в 1927 году при отражении электронов от кристалла никеля. В том же году

П. Тартаковский и Дж.П. Томсон независимо друг от друга наблюдали дифракцию пучка электронов на металлической фольге (рис 20.1.1). Из катода К вылетают электроны, которые фокусируются с помощью анода А, и проходят сквозь металлическую фольгу М толщиной 1 мкм. В результате на фотопластинке Ф получается дифракционная картина подобная дифракционной картине световых волн (рис.20.1.2).

В опытах В. Фабриканта(1948 г.) было доказано, что волновые свойства присущи не только потоку электронов, но и одному электрону. В этих опытах пучок электронов был очень слабый, время испускания двух последовательных электронов в десятки тысяч раз было больше времени движения электрона от источника до экрана. Распределение электронов на экране было таким же, как для мощного пучка электронов.

Позже наблюдали дифракцию нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Длину волны де Бройля при движении микрочастицы с релятивистской скоростью можно получить, если учесть зависимость массы от скорости

.

Подставляя формулу массы в выражение длины волны де Бройля (5.1), получим

.

Волновые свойства микрочастиц привели к созданию электронной оптики: электронного и ионного микроскопа, электронно-оптического преобразователя.

При решении некоторых задач удобно импульс р частицы выражать через ее кинетическую энергию W_к. Для релятивистского движения частицы применяют соотношение

а в классическом случае здесь Е_о – энергия покоя частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Рассчитать длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющее поле с разностью потенциалов 100 В.

Дано: U=100 B

Найти : λ-?

Решение

Длину волны де Бройля движущегося электрона можно определить по формуле

. (1)

Для решения задачи необходимо сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Е_о

Кинетическая энергия электрона много меньше энергии покоя электрона W_к << E_o, поэтому для решения задачи можно использовать формулы классической механики.

В случае, когда кинетическая энергия частицы больше её энергии покоя , необходимо учитывать зависимость массы от скорости и пользоваться формулами релятивистской механики.

Электрон, прошедший разность потенциалов 100 В, приобретает кинетическую энергию за счет работы электрического поля, поэтому можно записать

. (2)

Из формулы (5.3) находим скорость

. (3)

Подставим выражение (3) в формулу (1)

.

Проводя преобразования, получим расчетную формулу длины волны де Бройля для электрона

.

Вычисления:

= 1,2∙10^-8м .

Ответ: λ=1,2∙10^-8м.

Пример 2. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 0,6с (с – скорость света в вакууме).

Дано:

Найти:

Р

Длина волны для протона определяется по формуле де Бройля

.

ешение

При движении частицы со скоростью близкой к скорости света необходимо учесть, что релятивистская масса зависит от скорости .

Подставляя выражение

.

Вычисления: λ= = 1,76∙10^-15 м

Ответ: 1,76∙10^-15 м.

Пример 3. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,008 Тл. Определить длину волны де Бройля электрона.

Дано: R=0.5см B=0,008Тл

Найти :

Решение

Дебройлевскую длину волны микрочастицы определяют по формуле

Радиус круговой орбиты электрона, движущегося в магнитном поле равен

.

Определим скорость частицы

и, подставляя ее в формулу, получаем

.

Вычисления: λ = = 10^-10 м

Ответ: =10^-10 м.

Пример 4. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося при температуре 293 К с наиболее вероятной скоростью.

Дано: Т=293 К = кг/моль