Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Как отмечалось выше, реальная жидкость имеет вязкость, а следовательно, по мере движения жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2, из-за работы сил трения полная энергия жидкости будет уменьшаться. Вследствие этого, напор в сечении 1-1 будет больше напора в сечении 2-2 на величину потерь напора (энергии) на величину h

 

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Давайте попробуем разобраться – чем поток отличается от элементарной струйки кроме размера. Основная причина, потребовавшая отделения этих двух понятий – неравномерность поля скоростей по живому сечению потока. Вероятнее всего, в центре живого сечения скорость будет значительно выше, чем у стенок. Как это может отразиться на записи уравнения Бернулли?

Вспомним:

Во-первых, уравнение Бернулли – это, по своей сути, закон сохранения механической энергии. А раз мы вспомнили про скорость, то и отличие элементарной струйки от потока будет определяться различием кинетических энергий.

Во-вторых, кинетическая энергия определяется скоростью во второй степени.

Чтобы понять суть проблемы, попробуем выполнить элементарный расчет.

Предположим, что средняя скорость потока составляет 1 м/с и g=10 м/с². Скоростной напор, рассчитанный через среднюю скорость, составит h = 1²/(2*10) = 0.05 м

При ламинарном движении жидкости скорость на оси канала примерно в 2 разы выше средней. Тогда кинетическая энергия будет в 4 раза выше. Скоростной напор составит h = 2²/(2*10) = 0.2 м

Расчеты показывают, что при одинаковых скоростях, но разных режимах течения кинетические энергии будут отличаться почти в 2 раза. Это потребовало введения поправочного коэффициента – коэффициентаКориолиса. При ламинарном режиме течения (без перемешивания) неравномерность поля скоростей велика и кинетическая энергию будет в 2 раза выше, чем рассчитанная по средней скорости. При турбулентном режиме (с интенсивным перемешиванием, которое выравнивает скорости во всех точках потока) кинетическая энергия практически равна полученной через среднюю скорость.

 

Ламинарный режим (профиль скорости)           Турбулентный режим (профиль скорости)

 

 

 

 

 

 

 

    u                                                                                    u

 

 

 

Уравнение Бернулли приобретает вид:

где  - коэффициент Кориолиса, принимает значения

 = 2 при ламинарном режиме и  = 1 при турбулентном режиме

 

Построение напорной и пьезометрической линий.

В инженерной практике встречаются задачи, требующие качественной оценки характеристик потока. Для этой цели необходимо уметь строить (или просто прогнозировать) графики изменения напора и давления (напорную и пьезометрическую линии).

Вспомним, что полный напор определяется как

Иначе это выражение может быть представлено как

Н_геом. + Н_{пьезометр.} + Н_{скоростной} = Н

Рассмотрим пример такого анализа.

Жидкость перетекает из левого резервуара в правый. Труба, соединяющая резервуары имеет переменное сечение. В средней части диаметр плавно увеличивается, что приводит к снижению скорости (см. уравнение сплошности). При движении жидкости происходят изменения напора и давления, которые показаны на соответствующих графиках.

 

 

 

 

 

 

 

Напорная линия

                              

 

Пьезометрическая линия

 

P/                                   P/

 

 

 

 

Z

Z=0

За плоскость отсчета может быть выбрана любая плоскость

Скорость

 

 

 

 

 

 

 

Напорная линия.

1.      Пьезометрическая линия показывает величину суммарной кинетической и потенциальной энергии жидкости в виде высоты столба жидкости. В связи с этим, начальная и конечная точки будут определяться состоянием жидкости в 1-м и 2-м резервуарах.

2.      Энергия не будет появляться ниоткуда (см. закон сохранения энергии), в связи с чем полный напор (полная энергия жидкости) может только понижаться.

3.      Если жидкость идеальная (вязкость равна нулю), напор изменяться не будет, т.к. сил трения нет, нет и потерь.

4.      Чем больше скорость, тем больше силы трения, а значит и больше потери напора.

Пьезометрическая линия.

1.      Пьезометрическая линия показывает величину потенциальной энергии в виде эквивалентного столба жидкости.

2.      Пьезометрическая линия будет проходить ниже напорной линии на величину скоростного напора.

3.      Чем больше скорость, тем больше расстояние между ними (падение давления больше). Это свойство часто используют в технике для получения низких давлений (диффузор карбюратора, эжекторы, элеваторные узлы в системах отопления, струйные насосы – в этих устройствах используются высоконапорные потоки для получения вакуума).

Координата Z.

1.      Это вертикальная координата, отсчитываемая от произвольной плоскости отсчета. Чем выше располагается центр живого сечения потока, тем больше его потенциальная энергия.

2.      Для того, чтобы не оперировать отрицательными высотами, рекомендуется выбирать самую низкую плоскость отсчета. Это положение носит только рекомендательный характер.