§ 3. Непрерывные случайные величины

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый заданный промежуток и у которой ее функция распределения представляет собой функцию, непрерывную во всех точках данного промежутка.

Как видно из определения, непрерывная случайная величина принимает значения из некоторого интервала, таких значений бесконечно много и их нельзя пересчитать. Непрерывные случайные величины получаются, например, когда имеют дело с результатами наблюдений.

При рассмотрении этих величин возникает так называемый парадокс непрерывности. Он состоит в том, что при очень большом числе опытов случайная величина будет принимать какое-либо конкретное значение очень редко, так что относительная частота этого события будет приближаться к нулю. Таким образом, вероятность каждого отдельно взятого значения случайной величины будет равна нулю. В связи с этим случайная величина не может быть охарактеризована вероятностями своих значений.

В связи с этим для характеристики случайной величины вводится новая функция, которая называется плотностью вероятности или плотностью распределения случайной величины X.

Пусть Х — непрерывная случайная величина, имеющая дифференцируемую функцию распределения F(х) на всей числовой оси. Функцией плотности вероятности для Х в точке х называется функция f(x), определяемая равенством

Свойства плотности вероятности.

1. Для любого х плотность вероятности f(х) неотрицательна.

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна

3. Если F(x) и f(x) соответственно функции распределения и плотности вероятности, то

4. Если f(x) – плотность вероятности, то

Рассмотрим самое простое непрерывное распределение.

Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если плотность распределения вероятности этой величины постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне этого отрезка.

Из определения следует, что

Используя свойство 4, найдем константу с.

Получаем, что с(b – a) = 1, отсюда с = 1/(b – a).

Следовательно,

Функция распределения будет иметь вид (по свойству 3):

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [c, d], принадлежащий [a, b] находится по формуле (использовали свойство 2):

P(c < x < d) = (d – a)/(b – a).

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

M(Х) = (b + a)/2; D(Х) = (b – a)²/12.

Задача.

_{Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [–5, 12]. Найти плотность распределения, функцию распределения, построить их график. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 8). Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.}

_{Решение. Найдем плотность распределения}

_{Получаем}

_{Найдем функцию распределения}

Построим графики этих функций

Вероятность попадания случайной величины в интервал равна P(0 < x < 8) = (8 – 0)/(12 – (–5)) = 8/17.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение равны

M(Х) = (12 – 5)/2 = 7/2 = 3,5; D(Х) = 17²/12 = 24,08; (x) = 4,9.