§ 2. Классическое определение вероятности

Фундаментальными понятиями, которые обычно с самого начала вводятся в теории вероятностей, являются понятиями испытания (опыта), события и вероятности.

Под испытанием (или опытом) будем понимать осуществление некоторого комплекса условий с элементом случайности.

Под событием будем понимать всякое явление, о котором можно сказать “да, оно произошло” или “нет, оно не произошло” при осуществлении испытания.

Все мыслимые взаимоисключающие результаты испытания называются элементарными событиями.

Пример.

Подбрасывание монеты – испытание. Выпадение «орла» – событие. Выпадение «орла» или «решки» – все элементарные события для данного опыта.

События обозначаются большими печатными буквами латинского алфавита A, B, C, D,…

Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно произойдет.

Событие, которое заведомо не может произойти в данном опыте, называется невозможным.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Пример.

Бросают игральный кубик. Выпадение 6 очков – случайное событие; выпадение 7 очков – невозможное событие; выпадение от 1 до 6 очков – достоверное событие.

Несколько событий называются равновозможными, если появление какого-либо из них не более возможно, чем любого другого (из них).

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Под противоположным событием Ā понимают событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило событие А.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Пример.

Игра в шахматы. Событие А – выиграл первый игрок, событие В – выиграл второй. Эти события не совместны, так как выиграть может только один из шахматистов.

Игра в карты. Событие А – выпал козырь, событие В – выпал туз. События А и В совместны, так как может выпасть козырный туз.

Классическое определение вероятности.

Если число n элементарных событий в данном опыте конечно и все они равновозможны, то вероятность события А вычисляется по формуле

, где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А, т.е. число всех те элементарных исходов опыта, при которых событие А наступит.

Свойства вероятности.

1. Вероятность любого события лежит в отрезке [0;1], т.е. 0  P(A)  1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу равна единице.

5. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле

На практике формула классической вероятности может быть неприменима по двум причинам:

1. предполагают, что число опытов конечно, а оно может быть неограниченным;

2. часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Давно было замечено, что частота появления события при многократном повторении имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Швейцарский ученый Якоб Бернулли привел математическое доказательство того, что при большом числе опытов должна практически совпадать с ней. Это положение носит название закона больших чисел (закон Бернулли).

Многие ученые проводили специальные опыты по проверке закона Бернулли. Так возникло

Статистическое определение вероятности.

Под статистической вероятностью понимают относительную частоту появления события А в n произведенных опытах, т.е.

, где n – число произведенных опытов, m – число появлений события А.

Рассмотрим задачи на вычисление вероятностей случайных событий с помощью классического определения.

Задача 1.

Каков вероятность того, что при бросании монеты выпадет «орел»?

Решение. Обозначим событие А – выпадение «орла». Определим чему равны n и m. В данном случае возможны два элементарных исхода («орел», «решка»), следовательно, n = 2. «Орел» на монете только один, следовательно, m = 1. Получаем, что P(A) = 1/2.

Ответ: вероятность того, что при бросании монеты выпадет «орел» равна 1/2.

Задача 2.

Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число очков, делящееся на 3?

Решение. Обозначим событие А – выпадение числа очков, делящегося на 3. Так как на 3 делятся 3 и 6, то m = 2; n = 6, так как всего 6 элементарных исходов опыта. Отсюда, P(A) = 2/6 = 1/3.

Ответ: вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число очков, делящееся на 3, равна 1/3.

Задача 3.

В ящике находится 5 белых, 6 зеленых и 5 красных шара. Какова вероятность вытащить наугад а) белы шар; б) 2 зеленых шара; в) 3 белых, 4 зеленых и 1 красный шар?

Решение:

а) пусть А – вытащили белый шар. Общее количество элементарных событий n = 5 + 6 + 4 = 15 (общее количество шаров). Количество элементарных событий, благоприятствующих А, m = 5 (количество белых шаров). Отсюда, P(A) = 5/15 = 1/3;

б) пусть В – вынули 2 зеленых шара. Общее количество элементарных событий – это количество способов, которыми можно достать 2 шара из имеющихся, т.е. . Количество благоприятствующих элементарных событий – это число способов достать 2 зеленых шара из имеющихся зеленых шаров, т.е. . Отсюда, P(A) = 15/105 = 1/7;

в) пусть С – вытащили 3 белых, 4 зеленых и 1 красный шар. Общее количество элементарных событий – это сколькими способами можно достать 3+4+1=8 шаров из имеющихся 15, т.е. . Количество благоприятствующих элементарных событий – это число способов достать 3 белых шара из имеющихся 5 белых, 4 зеленых – из 6 зеленых и 1 красный – из 4 красных шаров, т.е. (использовали принцип умножения комбинаторики). Получаем, что P(C) = 600/6435 = 0,09.

Ответ: а) вероятность равна 1/3; б) вероятность равна 1/7; в) вероятность равна 0,09.