§ 2 Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики, достаточно лишь некоторых количественных показателей, которые в сжатой форме давали бы достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется число, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя собой некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме из математических ожиданий, т.е. M(X+Y )= M(X) + M(Y).

2. Математическое ожидание константы равно константе, т.е. M(С) = С.

3. Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = СM(X).

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения, т.е. D(X) = M(X – M(X))².

Для дискретной случайной величины справедлива формула

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность квадрата. Чтобы избавиться от этого, вводят понятие среднеквадратичного отклонения.

Среднеквадратичным отклонением (Х) случайной величины Х называется арифметический корень из ее дисперсии, т.е.

C помощью этих двух величин можно судить о рассеивании значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Свойства дисперсии.

1. Для любой случайной величины Х дисперсия является неотрицательной величиной.

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D(С) = 0.

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, т.е. D(X) = M(X²) – (M(X))².

4. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат, т.е. D(СX) = С²D(X).

Задача.

Из ящика, содержащего 2 белых и 3 красных шара, вынимают 2 шара. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение числа вынутых белых шаров.

Решение. Пусть Х – количество вынутых белых шаров. Х может принимать значения 0, 1, 2. Найдем соответствующие вероятности, воспользовавшись формулой Бернулли (n = 2, так как достают 2 шара; m меняет свои значения от 0 до 2; вероятность достать белый шар p = 2/5; q = 1 – p = 3/5).

P₁ = C₂⁰(2/5)⁰(3/5)² = 0,36

P₂ = C₂¹(2/5)¹(3/5)¹ = 0,48

P₃ = C₂²(2/5)²(3/5)⁰ = 0,16

Проверка: P₁ + P₂ + P₃ = 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1.

Получили следующий ряд распределения:

X	0	1	2
P	0,36	0,48	0,16

Теперь по формуле найдем математическое ожидание

M(X) = 00,36+10,48+20,16=0,8.

Находим дисперсию по формуле

Можно найти дисперсию другим способом, воспользовавшись формулой из свойства 3: D(X) = M(X²) – (M(X))².

M(X²) = 0²0,36 + 1²0,48 + 2²0,16 = 1,12.

D(X) = 1,12 – 0,82 = 0,48.

Теперь можем найти среднеквадратичное отклонение

.

Ответ: M(X) = 0,8; D(X) = 0,48; (X) = 0,69.