Раздел II. Случайные величины § 1. Дискретные случайные величины

Стремление использовать числа при анализе различных явлений – это характерная черта техники, экономики, естествознания. В теории вероятностей это привело к появлению случайных величин. При проведении экспериментов приходится встречаться с переменными величинами, которые принимают различные числовые значения в зависимости от обстоятельств. Примерами таких величин могут служить:

1. результат бросания игрального кубика;

2. число попаданий в цель при 10 выстрелах;

3. остаток вклада по выбранному наугад лицевому счету;

4. продолжительность обслуживания покупателя.

Приведенные примеры, взятые из различных областей, объединяет одно общее положение: результат наблюдения за исходами опыта представляет собой переменную величину, которая под влиянием случайных обстоятельств принимает то или иное числовое значение из некоторого множества. Итак, сформулируем определение случайной величины.

Случайной называется величина, принимающая в результате испытания то или иное (но только одно) возможное значение в зависимости от обстоятельств.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное число значений.

Пример.

Бросают игральный кубик. Случайная величина – выпадение какого-либо количества очков. Случайная величина может принять значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Случайные величины будем обозначать большими буквами латинского алфавита (X,…), а их значения – соответствующими малыми буквами с индексами или без индексов (x₁, x₂,…). Вероятности этих значений обозначим через p, т.е. P(X=x₁) = p₁, … , P(X=x_n) = p_n.

Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть записан в виде таблицы или функции.

Таблица или ряд распределения выглядит следующим образом

X	x1	…	xn
P	p1	…	pn

Наиболее общей формой задания закона распределения является функция распределения.

Функцией распределения F(x) случайной величины X называется функция, определенная на множестве всех действительных чисел и задающая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неотрицательная величина, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Вероятность попадания случайной величины в интервал [α, β) равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т.е. P(α≤X<β) = F(β) – F(α).

3. Функция распределения есть неубывающая функция, т.е. если β > α, то F(β) ≥ F(α).

4. F(+∞) = 0; F(–∞) = 1.

Задача 1.

Распределение случайной величины X заданно рядом распределения. Найти неизвестное p₃, построить функцию распределения (записать в аналитическом и графическом виде).

X	–1	0	2	3
P	0,3	0,2	?	0,1

Решение. Все возможные значения случайной величины X образуют полную группу событий, следовательно, сумма их вероятности равна единице. Отсюда p₃ = 1 – (0,3 + 0,2 + 0,1) = 0,4.

Тогда ряд распределения будет иметь вид

X	1	0	2	3
P	0,3	0,2	0,4	0,1

Найдем теперь функцию распределения. Согласно определению F(x) = P(X < x). В нашей задаче случайная величина может принять 4 значения, поэтому решение разобьется на 5 случаев:

а) x ≤ –1, тогда F(x) = P(X < –1) = 0,так как X не имеет значений, меньших –1;

б) –1 < x ≤0, тогда F(x) = P(X < 0) = P(X = –1) = 0,3;

в) 0 < x ≤ 2, тогда F(x) = P(X < 2) = P(X = –1)+ P(X =0) = 0,3 + 0,2 = 0,5;

г) 2 < x ≤ 3, тогда F(x) = P(X < 3) = P(X = –1)+ P(X = 2)+ P(X = 2) = 0,3 + 0,2 + 0,4 = 0,9

д) x > 3, тогда F(x) = P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,3 + 0,2 + 0,4 + 0,1 = 1.

Запишем функцию в аналитическом виде:

В графическом виде функция распределения выглядит следующим образом:

Задача 2.

Вероятность брака некоторой детали равна 1/4. Для проверки случайным образом выбрали три детали. Построить ряд распределения и функцию распределения числа годных деталей среди выбранных. Функцию распределения записать в аналитическом и графическом виде.

Решение. Обозначим X – количество бракованных деталей. Случайная величина X может принять значения 0, 1, 2, 3. Далее нужно найти вероятности каждого значения. Используем формулу Бернулли (n = 3, так как выбрали три детали; m принимает значения 0, 1 ,2, 3, соответственно; вероятность того, что деталь бракованная равна 1/4; вероятность того, что деталь годная равна 1 – 1/4 = 3/4).

Получаем, P₁=C₃  (3/4)  (1/4)³ = 0,0156; P₂ = С₃¹  (3/4)¹  (1/4)² = 0,1406; P₃ = C₃²  (3/4)²  (1/4)¹ = 0,4219; P₄ = С₃³  (3/4)³  (1/4)° = 0,4219.

Ряд распределения имеет вид

X	0	1	2	3
P	0,0156	0,1406	0,4219	0,4219

Найдем функцию распределения и запишем ее сразу в аналитическом виде.

В графическом виде: