§ 5. Схема испытаний Бернулли
Пусть
в результате некоторого опыта может
появиться определенное событие
с вероятностью
.
Этот опыт повторяется в одинаковых
условиях
раз (
– фиксированное число). Вероятность
наступления события
в каждом из этих испытаний одна и та же
и исход любого испытания не зависит от
результатов других опытов. Такую
последовательность независимых испытаний
с двумя исходами (появление
,
не появление
)
называют схемой
Бернулли.
Пример.
Монету
бросают n
раз, событие
– выпадение «орла»,
.
Всякий
исход такой последовательности
независимых испытаний есть чередование
и
в произвольном порядке и в произвольном
наборе. Вероятность события
определяется по формуле
.
Пусть
нас интересует вероятность того, что в
серии из
опытов событие
появится ровно
раз. На этот вопрос отвечает
ТЕОРЕМА.
Если производится последовательность
независимых испытаний, в каждом из
которых с вероятностью
наступает событие
,
то вероятность
того, что в этих
испытаниях событие
произойдет
раз, определяется по формуле
,
где
Эта формула называется формулой Бернулли.
Следствие.
Сумма вероятностей
равна
единице, т.е.
Это следствие часто используется для проверки сделанных вычислений.
В
задачах, связанных со схемой Бернулли,
часто возникает необходимость найти
наиболее вероятное количество
наступлений события
.
Его определяют из двойного неравенства
.
Задача 1.
Вероятность выхода за допустимые границы при обработке детали равна 0,07. Какова вероятность того, что из пяти наугад отобранных деталей у двух размеры не соответствуют заданному диапазону?
Решение.
Пусть
– размеры не соответствуют заданному
диапазону. По условию
.
Тогда
.
Количество опытов
так как выбрали пять деталей;
.
Используя формулу Бернулли, получим
искомую вероятность
.
Ответ: искомая вероятность равна 0,039.
Задача 2.
В условиях задачи 1 найти вероятность того, что у двух деталей размеры соответствуют заданному диапазону.
Решение.
Пусть
– размеры соответствуют диапазону.
Тогда получаем, что по условию нам дана
вероятность противоположного события,
т.е.
.
Отсюда
.
Величины
и
остались без изменений. Подставляем
все в формулу Бернулли
.
Ответ: искомая вероятность равна 0,0035.
Задача 3.
Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
Решение.
Пусть
– день дождливый. Количество опытов
,
так как рассматривается 8 дней;
.
Найдем вероятность того, что произвольный
день дождливый, т.е.
(использовали формулу классической
вероятности). Тогда
.
Применяем формулу Бернулли
.
Ответ: искомая вероятность равна 0,28.
Задача 4.
Вероятность того, что на предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму равна 0,2. Какова вероятность того, что в течении не менее 5 дней из 7 перерасхода не будет?
Решение.
Обозначим
–
перерасхода нет в какой-либо день,
– нет перерасхода не менее 5 дней из 7.
Тогда
;
.
Далее решение придется разбить на три
случая:
перерасхода нет 5 дней, т.е.
;
перерасхода нет 6 дней, т.е.
;
перерасхода нет 7 дней, т.е.
.
Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей в рассмотренных случаях, следовательно,
.
Ответ: искомая вероятность равна 0,852.
Задача 5.
Всхожесть семян данного растения равна 0,8. Найти наиболее вероятное число проросших семян из 5 посеянных.
Решение.
Обозначим
семя взошло,
вероятность
.
Согласно условию
,
количество испытаний
.
Тогда
.
Воспользуемся неравенством для
наивероятнейшего количества появления
события
:
,
.
Единственное натуральное число,
удовлетворяющее этому неравенству,
равно 4, следовательно,
.
Ответ. Наиболее вероятное количество проросших семян из посаженных равно 4.
Формула Пуассона
Если
в схеме Бернулли количество испытаний
велико, вероятность
события
в одном испытании мала, а произведение
не превосходит 20, то вероятность того,
что событие появится ровно в
испытаниях, определяется по приближенной
формуле Пуассона:
.
Для использования формулы Пуассона
обычно достаточно выполнения условий
,
.
Значения распределения Пуассона имеются в специальных таблицах.
Задача 6.
В ходе проверки аудитор случайным образом отбирает 10 счетов. Найти вероятность того, что он обнаружит один счет с ошибкой, если в среднем 3% счетов содержат ошибки.
Решение.
В нашем случае количество испытаний
,
вероятность ошибки в одном испытании
.
Тогда
и можно применить формулу Пуассона:
.
Вычислять это выражение нет необходимости,
достаточно воспользоваться специальными
таблицами.
Ответ. Вероятность обнаружить один счет с ошибкой равна 0,2223 или 22%.
Локальная формула Муавра-Лапласа
Если
в схеме Бернулли число испытаний
велико, а вероятности
и
не очень близки к нулю (обычно достаточно
условий
,
),
то вероятность наступления события
ровно
раз можно найти по локальной формуле
Муавра-Лапласа:
,
где
,
функция Гаусса, значения которой имеются
в специальных таблицах. Следует заметить,
что функция Гаусса четна, то есть
,
поэтому в таблице приводятся данные
только для положительных значений
аргумента.
Задача 7.
Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 180 грибов белых будет 40?
Решение.
В нашем случае количество испытаний
,
,
вероятность
.
Проверяем условие применимости локальной
формулы Муавра-Лапласа:
,
.
Формулу можно применить.
Найдем
.
Для вычисления
воспользуемся таблицей, получаем
.
Тогда
искомая вероятность равна
Ответ. Вероятность собрать ровно 40 грибов из 180 примерно равна 5%.
Интегральная формула Муавра-Лапласа
В
условиях локальной формулы Муавра-Лапласа
вероятность того, что число
наступления события
находится в заданном промежутке
вычисляется по формуле:
,
где
,
,
функция Лапласа, значения которой
имеются в специальных таблицах. Следует
заметить, что функция Лапласа нечетна,
то есть
,
поэтому в таблице приводятся данные
только для положительных значений
аргумента.
Задача 8.
В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что количество спелых арбузов будет находится в пределах от 564 до 600.
Решение.
В нашем случае количество испытаний
,
,
,
вероятность
.
Проверяем условие применимости формулы
Муавра-Лапласа:
,
.
Формулу можно применить.
Найдем
,
.
Для вычисления значений функции Лапласа
воспользуемся таблицей, получаем
,
.
Тогда
искомая вероятность равна
Ответ. Искомая вероятность примерно равна 82%.
С
помощью интегральной формулы Муавра-Лапласа
можно получить формулу вероятности
отклонений относительной частоты от
постоянной вероятности в
независимых испытаниях не более чем на
число
:
.
Задача 9.
Сколько раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью 90% относительная частота появления герба отличалась от его классической вероятности не более чем на 1%?
Решение.
Воспользуемся формулой
,
где
классическая вероятность выпадения
герба,
заданная степень погрешности.
Получаем
,
откуда
,
.
Далее. воспользовавшись таблицей функции
Лапласа, получаем
,
следовательно,
.
Ответ. Монету нужно подбросить примерно 6807 раз.