§ 4. Формулы полной вероятности и Байеса

ТЕОРЕМА 1. Вероятность Р(А) появления события А, которое может произойти совместно только с одним из событий В₁, В₂,…, В_n, образующих полную группу событий, находится по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События В₁, В₂,…, В_n, образующие полную группу, называются гипотезами.

ТЕОРЕМА 2. Если до опыта вероятности гипотез были Р(В₁), Р(В₂),…, Р(В_n), а в результате опыта появилось событие А, то условные вероятности гипотез вычисляются по формуле

где Р(А) – полная вероятность события А.

Эта формула носит название формулы Байеса. Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдаемого результата опыта.

Задача 1.

На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Первый дает 50% деталей, второй – 30%, третий – остальные. Если в сборку попадет деталь первого станка, то вероятность получения годного узла равна 0,98; для второго и третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,95 и 0,8. найти вероятность того, что произвольно выбранный узел окажется бракованным.

Решение. Обозначим А – узел бракованный. Качество узла зависит от того, с какого станка поступила деталь, т.е. гипотезы состоят в следующем: В₁ – деталь с первого станка; В₂ – деталь со второго станка; В₃ – деталь с третьего станка.

Необходимо использовать формулу полной вероятности. Найдем соответствующие вероятности.

Р(В₁) = 0,5 (так как первый станок дает 50% изделий);

Р(В₂) = 0,3 (так как второй станок дает 30% изделий);

Р(В₃) = 0,2 (так как третий станок дает 100%-50%-30% = 20% изделий);

(так как нам дана вероятность получения годного узла, а мы ищем вероятность противоположного события – получение бракованного узла);

;

.

Теперь подставляем полученные значения в формулу полной вероятности.

Ответ: вероятность того, что узел окажется бракованным, равна 0,065.

Задача 2.

В условиях задачи 1 найти вероятность того, что бракованная деталь оказалась изготовлена на втором станке.

Решение. Нам необходимо перечислить вероятность гипотезы В₂, при условии, что узел оказался бракованным. Следовательно, нужно использовать формулу Байеса для В₂.

.

Ответ: вероятность того, что деталь сделана на втором станке, равна 0,23.

Задача 3.

Имеется 3 ящика с шарами. В первом находится 8 белых и 4 черных шара, во втором – 4 белых и 6 черных, в третьем – 10 белых и 5 черных. Наугад достают один шар из любого ящика. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Решение. Обозначим А – вынули черный шар. Гипотезами, т.е. событиями совместно с одним из которых может появиться событие А, являются В₁ – шар из первого ящика, В₂ – шар из второго ящика, В₃ – шар из третьего ящика.

Найдем соответствующие вероятности.

Р(В₁) = Р(В₂) = Р(В₃) = 1/3 (так как В₁, В₂, В₃ равновозможные в условиях данной задачи и образуют полную группу).

(использовали формулу классического определения);

;

.

Подставляем полученные значения в формулу полной вероятности

P(A) = 1/31/3 + 1/3  3/5 + 1/3  1/3 = 19/45.

Ответ: искомая вероятность равна 19/45.