§ 3. Теоремы сложения и произведения вероятностей

Введем понятия, позволяющие выразить одни события через другие.

Суммой двух событий А и В в данном опыте называется событие С, состоящие в появлении хотя бы одного из событий А и В. Обозначение: C = A + B.

Произведением двух событий А и В в данном опыте называется событие С, состоящие в совместном появлении и события А, и события В. Обозначение: С = AB.

Понятия суммы и произведения могут быть распространены на случай любого конечного числа событий. Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример.

Бросают игральный кубик. Пусть А₁ – выпало 2 очка, А₂ – выпало 4 очка, А₃ – выпало 6 очков. Тогда событие А – выпало четное число очков является суммой событий А₁, А₂, А₃, т.е. А = А₁ + А₂ + А₃.

Пусть В – выпало не более двух оков. Тогда выпадение двух очков можно представить как произведение двух событий А и В, т.е. А₁ = АВ.

Вспомним определение несовместных событий. События несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте. Отсюда получаем, что произведение несовместных событий – пустое множество.

Рассмотрим следующие теоремы сложения вероятностей.

ТЕОРЕМА 1. Для любых событий А и В вероятность их суммы находится по формуле

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Если события А и В несовместны, то

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна

Р (А₁+А₂+…+А_n) = Р (А₁) + Р (А₂)+…+Р (А_n).

ТЕОРЕМА 3. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице, т.е.

Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n) = 1,

если А₁, А₂,…,А_n образуют полную группу событий.

Введем еще одно необходимое нам понятие. События А и В называются независимыми, если появление или не появление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Пример.

Пусть А — выигрыш по первому лотерейному билету, В — выигрыш по второму билету. События А и В независимы, т.к. выигрыш по одному билету не изменит вероятности выигрыша по другому.

В случае зависимых событий возникает понятие условной вероятности. Условной вероятностью события А по событию В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Условная вероятность события А по событию В обозначается Р_B(А).

Сформулируем теперь теоремы о произведении вероятностей.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)Р_B(В) или Р(АВ) = Р(В)Р_B (А)

ТЕОРЕМА 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

ТЕОРЕМА 6. Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.

Р(A₁A ₂...А_n) = Р(А₁)Р(А₂)...Р(A_n)

ТЕОРЕМА 7. Вероятность произведения нескольких зависимых событий находится по формуле

Рассмотрим задачи.

Задача 1.

Стрелок делает выстрел по мишени. В 24 случаях из 100 он попадает в область 1, в 17 случаях — в область 2. Какова вероятность того, что стрелок попадет в одну из областей?

Решение. Пусть событие А — стрелок попал в первую область, В — попал во вторую область. Тогда искомое событие состоит из суммы А и В. События несовместны, так как стрелок не может попасть сразу в обе области при одном выстреле. Используем теорему суммы для несовместных событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 24/100 + 17/100 = 0,41.

Ответ: искомая вероятность равна 0,41.

Задача 2.

Два стрелка делают по одному выстрелу по одной мишени. Какова вероятность поражения мишени, если первый стрелок попадает в половине случаев, а второй — в трети.

Решение. Обозначим А — попал первый, В — попал второй. Тогда искомое событие представляет собой сумму А и В. Из условия задачи видно, что А и В совместны, так как оба стрелка могут попасть в цель. Используем формулу суммы совместных событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

По условию Р(А) = 1/2, Р(В) = 1/3.

События независимы, так как попадание одного не зависит от попадания другого, следовательно, Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 1/2  1/3 = 1/6.

Получаем, что Р(А+В) = 1/2 + 1/3 — 1/6 = 2/3.

Ответ: искомая вероятность равна 2/3.

Задача 3.

Какова вероятность того, что при бросании монеты 4 раза всегда будет выпадать «орел»?

Решение. Обозначим событие А₁ — выпадение орла при первом бросании, А₂ — при втором, А₃ — при третьем, А₄ — при четвертом. Искомое событие состоит из появления всех событий, т.е. является их произведением. События А₁, А₂, А₃, А₄ независимы, так как выпадение «орла» в первом случае не изменит вероятности выпадения «орла» во всех остальных и т.д. Поэтому используем формулу вероятности произведения независимых событий.

Р(А₁А₂А₃А₄) =Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃)Р(А₄)=1/2  1/2  1/2  1/2 = 1/16.

Ответ: искомая вероятность равна 1/16.

Задача 4.

Из колоды карт (52 шт.) поочередно достают 3 карты. Какова вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз?

Решение. Пусть А₁ — первый раз достали тройку; А₂ — второй раз достали семерку; А₃ — третий раз достали туз. Искомое событие состоит из появления всех событий, т.е. является их произведением. А_1, А_2, А₃ зависимы, так как когда мы достанем одну карту, количество карт в колоде уменьшится и вероятность второго события изменится, аналогично для третьего события. Следовательно, необходимо применить Теорему 7.

Получим, что

Найдем нужные нам условные вероятности по классическому определению.

(n = 52, так как в колоде 52 карты; m = 4, так как в колоде четыре тройки);

(n = 51, так как одну карту уже достали);

(n = 50, так как уже достали две карты).

Отсюда получаем, что P(А₁А₂А₃) = 4/52  4/51  4/50 = 0,0005.

Ответ: вероятность достать из колоды карт тройку, семерку, туз равна 0,0005.