Предсказания и прогнозы на основе линейной модели регрессии

Построенная модель используется для определения значений y в точках x, которых нет в исходной таблице. Поиск значения y для x из исходного интервала называется предсказанием, а поиск значения y для x вне исходного интервала называется прогнозом. Чем дальше расположен x от интервала , тем менее точным будет прогноз.

Для прогноза значений переменной можно воспользоваться статистической функцией ТЕНДЕНЦИЯ(изв_значение_y; изв_значение_x; нов_значение_x; константа), где нов_значение_x  ссылка на ячейки, содержащие значения переменной x, для которых делается прогноз. Аргумент константа является необязательным. Если он равен 0, то коэффициент в уравнении линейной регрессии . Функция сама подбирает уравнение прямой линии и дает прогноз.

Можно использовать функцию ПРЕДСКАЗ(x; изв_значение_y; изв_значение_x), где x  это значение переменной x, для которой делается прогноз.

Испытание гипотезы для оценки линейности связи

Показатель наличия линейной связи в генеральной совокупности  это коэффициент корреляции. Для генеральной совокупности он равен . Нам это значение неизвестно. По данным выборки мы получаем оценку для  выборочный коэффициент корреляции r  и на основании r проводим испытание гипотезы о наличии линейной связи между переменными x и y в генеральной совокупности. Наш вывод зависит от объема выборки. Чем больше объем выборки, тем надежнее результат.

Выдвигаются следующие гипотезы:

H₀ : , то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;

H₁ : то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

Задается доверительная вероятность p, следовательно . Объем равен n. Граничные точки определяются с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(; n  2). Статистика вычисляется по формуле .

В случае парной линейной регрессии коэффициент аналогичен коэффициенту корреляции . Поэтому можно проводить испытание гипотезы на основе показателя наклона линейной регрессии .

Выдвигаются следующие гипотезы:

H₀ : , то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;

H₁ : то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

Задается доверительная вероятность p, следовательно . Объем равен n. Граничные точки определяются с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(; n  2). Статистика вычисляется по формуле , где , . Разница называется ошибкой (остатком, отклонением). Величина S называется стандартной ошибкой. Для вычисления S можно воспользоваться функцией СТОШYX(изв_значение_y; изв_значение_x).

Пример 8.

Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (y, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (x, тыс. шт.) по группам предприятий за отчетный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил результаты, представленные в таблице.

x	2	3	4	5	6
y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,4

Найти

1. выборочное уравнение линейной регрессии;

2. коэффициенты корреляции и детерминации;

3. ожидаемое значение себестоимости y при выпуске продукции x = 5,5 тыс.шт.;

4. проверить гипотезу о наличии линейной взаимосвязи между переменными с доверительной вероятностью 95% на основе оценки коэффициента корреляции;

5. проверить гипотезу о наличии линейной взаимосвязи между переменными с доверительной вероятностью 95% на основе оценки показателя наклона линейной регрессии.

Решение.

1. Найдем уравнение линейной регрессии . Используя функции Excel: a = ОТРЕЗОК(изв_значение_y; изв_значение_x) = 2,12;

b = НАКЛОН(изв_значение_y; изв_значение_x) =  0,11.

Уравнение имеет вид .

2. Найдем коэффициент корреляции Пирсона с помощью функции ПИРСОН(массив 1; массив 2), получаем r =  0,904. Так как получили значение, близкое к 1, следовательно, связь между x и y близка к линейной.

Найдем коэффициент детерминации с помощью функции КВПИРСОН(изв_значение_y; изв_значение_x), получаем . Это значение показывает, что 82% вариации переменной y объясняется переменной x.

3. Найдем ожидаемое значение себестоимости y при выпуске продукции x = 5,5 тыс.шт. с помощью функции ПРЕДСКАЗ(x; изв_значение_y; изв_значение_x), получаем тыс. руб.

4. проверим гипотезу о наличии линейной взаимосвязи между переменными с доверительной вероятностью 95% на основе оценки коэффициента корреляции. Выдвигаем гипотезы:

H₀ : , то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;

H₁ : то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p = 0,95, следовательно . Объем n = 5. Граничные точки определяем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 3) и получаем . Статистика вычисляется по формуле .

Отметим значения на числовой оси

Отклоняем гипотезу H₀ и принимаем гипотезу H₁ на уровне значимости 5%. Между переменными есть линейная взаимосвязь.

5. проверим гипотезу о наличии линейной взаимосвязи между переменными с доверительной вероятностью 95% на основе оценки показателя наклона линейной регрессии. Выдвигаем гипотезы:

H₀ : , то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;

H₁ : то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p = 0,95, следовательно . Объем . Граничные точки определяем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 3) и получаем .

Вычисляем стандартную ошибку S с помощью функции СТОШYX(изв_значение_y; изв_значение_x). Получаем . Далее вычисляем . Вычисляем статистику по формуле .

Отметим значения на числовой оси

Отклоняем гипотезу H₀ и принимаем гипотезу H₁ на уровне значимости 5%. Между переменными есть линейная взаимосвязь.