Точечные оценки

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности — оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть ₀, а на основе выборки объема n определяется оценка .

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

Несмещенность оценок. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .

Если это не так, то оценка называется смещенной, а разность называется смещением.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней , так как . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка .

Выборочная дисперсия D_X является смещенной оценкой генеральной дисперсии , при этом

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия)

Величина S называется стандартным отклонением случайной величины в выборке.

Эффективность оценок. Несмещенная оценка  называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. .

Предположим, что имеются две оценки параметра ₀, рассчитанные на основе одной и той же информации (рис. 2). Оценка А является более эффективной, чем оценка В.

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

Состоятельность оценок. Оценка  называется состоятельной, если при n   она стремится по вероятности к оцениваемому параметру ₀, т.е.

.

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

На рисунке показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).

Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что

,

то есть выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней .

Генерирование случайных значений в Excel

В Excel имеется функция СЛЧИС(), которая генерирует равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 0 до 1. Эту функция можно использовать для получения любых дискретных значений.

Формула A+(B−A+1)*СЛЧИС() будет возвращать равномерно распределенные числа из интервала от A до B, где A, B=const.

Для получения целых значений достаточно применить функцию ЦЕЛОЕ, которая возвращает целую часть числа. Таким образом, общая формула для получения набора целых случайных значений из интервала от A до B имеет вид: ЦЕЛОЕ(A+(B−A+1)*СЛЧИС()).

Функция СЛУЧМЕЖДУ(нижн_граница; верхн_граница) позволяет получить случайное число из заданного интервала.

Сгенерировать случайные числа в Excel можно и с помощью сервиса Сервис/Анализ данных/Генерация случайных чисел.