СОДЕРЖАНИЕ

Точечные оценки 60

Генерирование случайных значений в Excel 63

Получение числовых характеристик средствами Excel 64

Проверка статистических гипотез 67

Испытание гипотез на основе выборочной средней 71

Испытание гипотез о двух генеральных дисперсиях 73

Ковариация и корреляция 77

Раздел IV. Модель линейной парной регрессии 83

Анализ вариации зависимой переменной 85

Предсказания и прогнозы на основе линейной модели регрессии 88

Испытание гипотезы для оценки линейности связи 89

Раздел V. Множественная линейная регрессия 95 раздел I. Основные понятия теории вероятностей § 1. Элементы комбинаторики

Пусть дано некоторое множество М, тогда множество М₁ называется подмножеством множества М, если любой элемент из М₁ принадлежит М. Обозначение: М₁  М.

Пример.

Пусть М – множество натуральных чисел, М₁={3, 6, 7, 8}, М₂={5, –6, 7}. М₁ является подмножеством множества М, так как любой элемент М₁ является натуральным числом (т.е. принадлежит множеству М); М₂ не является подмножеством М, так как –6 не натуральное число.

Множества М и М₁ равны, если каждое из них является подмножеством другого. Обозначение: М = М_1.

Пример.

Пусть М₁ = {7, 8, 9, 11, – 10}; М₂ ={–1, 10, 13}; М₃ = {– 10, 9, 8, 7, 11}. Множества М₁ и М₃ равны, так как все элементы М₃ принадлежат М₁, а элементы М₁ – М₃.

Множество называется упорядоченным, если между его элементами установлено отношение предшествования, удовлетворяющее следующим условиям:

1. для любых a и b из М (a  b) либо a предшествует b, либо b предшествует a;

2. если a предшествует b, b предшествует c, то a предшествует c.

Пример.

Множество натуральных чисел N является упорядоченным; список фамилий в журнале – упорядоченное множество.

Два упорядоченных множества равны, если они равны как множества и одинаково упорядочены.

Пример.

Пусть даны упорядоченные множества М₁ ={– 1, 2, 3, 4, 11}; М₂ = {2, 3, 4, 11, – 1}; М₃ ={1, 2, – 1}; М₄ ={– 1, 2, 3, 4, 11}.

Равными являются множества М₁ и М₄. Множества М₁ и М₂ не являются равными, так как, хотя они и состоят из одних и тех же элементов, их порядок разный.

Пусть дано множество М, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество множества М, содержащее m элементов.

Пример.

Пусть М = {1, 3, 2}. Выпишем все возможные размещения данного множества при m = 2.

М₁ = {1, 2}; М₂ = {2, 1}; М₃ = {1, 3}; М₄ = {3, 1}; М₅ = {2, 3}; М₆ = {3, 2}.

Следует отметить, что М₁ и М₂, М₃ и М₄, М₅ и М₆ являются разными размещениями, поскольку размещение – это упорядоченное множество.

В большинстве задач нас будут интересовать не конкретные размещения данного множества из n элементов, а как много таких размещений существует при заданном m. На этот вопрос отвечает

ТЕОРЕМА. Количество размещений из n элементов по m равно произведению m натуральных чисел, большее из которых равно n, т.е.

Отметим, что при m = 0 количество размещений считают равным единице, т.е. .

Для дальнейшей работы нам понадобится понятие факториала (обозначается n!). Факториалом числа n называется последовательное произведение натуральных чисел от 1 до n, т.е.

Отметим, что 0! = 1.

Рассмотрим теперь важный частный случай размещения при n = m. Такие размещения называются перестановками. Другими словами, перестановка – это размещение из n элементов по n или различные упорядочения одного и того же множества. Количество перестановок обозначается P_n и находится по формуле

P_n = n!

Пример.

Пусть дано М = {—3, 4, —8}. Выпишем все перестановки этого множества. М₁ = {–3, 4, –8}; М₂ = {–3, –8, 4}; М₃ = {4, –3, –8}; М₄ = {4, –8, –3}; М₅ = {–8, 4, –3}; М₆ = {–8, –3, 4}.

Рассмотрим последнее необходимое нам понятие – понятие сочетания. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество множества М, содержащее m элементов.

Пример.

Пусть дано множество М = {–1, 2, 6, 8, 9}. Выпишем все сочетания этого множества, если m = 4.

М₁ = {–1, 2, 6, 8}; М₂ = {2, 6, 8, –9}; М₃ = {–1, 6, 8, –9}; М₄ = {–1, 2, 8, –9}; М₅ = {—1, 2, 6, —9}. Этими пятью множествами исчерпываются все сочетания. Если написать, например, еще одно М₆ = {6, 8,—9, 2}, то оно будет равно М₂, так как порядок элементов в сочетаниях не имеет значения.

Как и в случае размещений, в задачах нас будет больше интересовать количество сочетаний, которое обозначается .

ТЕОРЕМА. Количество сочетаний из n элементов по m находится по формуле

Для решения задач нам необходимо знать принцип умножения комбинаторики, который заключается в следующем. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе действие можно выполнить n₂ способами, третье действие — n₃ способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены способами.

Теперь разберем ряд задач.

Задача 1.

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д выбирают три карточки. Сколько слов можно составить таким способом? (Словом считаем любую последовательность букв.)

Решение. Исходное множество содержит 5 букв, следовательно, n = 5. Выбирают три карточки, т.е. m = 3. Далее определяем, чем будут получаемые множества — сочетаниями или размещениями. Так как в условиях этой задачи важен порядок символов (при перестановке букв будут получаться разные слова), то получаемые множества являются размещениями. Используя известную формулу, находим

.

Ответ: можно составить 60 слов.

Задача 2.

В ящике находится 10 шаров. Сколькими способами можно достать 4 шара?

Решение. Исходное множество содержит 10 элементов, следовательно, n = 10. Вынимают 4 шара, т.е. m = 4. В условиях нашей задачи порядок элементов в получаемых подмножествах не имеет значения, следовательно, используем формулу для сочетаний

Ответ: существует 210 способов достать 4 шара из 10.

Задача 3.

Сколькими способами можно рассадить 7 человек за 7 столов?

Решение. Исходное множество содержит 7 элементов, т.е. n = 7. Выбираемые подмножества тоже содержат 7 элементов, т.е. m = 7. Поскольку n = m = 7 и получаемые множества будут различаться порядком, нужно использовать формулу перестановок.

.

Ответ: 7 человек можно рассадить за 7 столов 5040 способами.

Задача 4.

Сколькими способами можно достать из колоды (36 шт.) 5 карт красной масти и 3 карты черной масти?

Решение. В этой задаче выполняются два действия: 1) достают 5 красных карт; 2) достают 3 черных карты. Следовательно, необходимо использовать принцип умножения комбинаторики.

Найдем сколькими способами можно достать 5 красных карт. Исходное множество содержит 18 элементов (так как в колоде 18 красных карт), т.е. n = 18. Вынимают 5 карт, т.е. m = 5. Из условия задачи видно, что порядок в получаемых подмножествах не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний

Аналогично для второго случая получаем

Полученные значения перемножаем

.

Ответ: 5 красных и 3 черных карты можно достать 6991488 способами.