12. Похідна ф-ії однієї змінної, її геометричний і механічний зміст. Основні правила диференціювання.

Означення похідної.

Нехай функція y=f(x) задана на інтервалі (a,b). Зафіксуємо т. x₀ цього інтервалу і розглянемо деяку інше т. x з цього інтервалу. Величина Δx= x -x₀ характеризує відхилення т. x від т. x₀. Її називають приростом аргументу. В т. x₀ будемо надавати приросту такого , що x₀+Δ є (a,b).

Означення 1. Приростом функції y=f(x) в т. x₀, що відповідає приросту аргументу називають величину Δf(x₀)= f(x₀+Δx)-f(x₀).

Зауважимо, що коли т. x₀ зафіксована, приріст функції є функцією від змінної Δx.

Означення 2. Скінчена границя приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу Δx при умові Δx→0 називається похідною функції y=f(x) в т. x₀. Позначається: f′( x₀),

Таким чином, щоб знайти похідну функції за означенням потрібно:

1. В т. x₀ надати приросту, такого що x=x₀+Δx є D(f);

2. Δf(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀);

3. ;

4. .

Означення 3. Правосторонньою похідною функції y=f(x) в т. x₀ називають скінчену границю приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу Δx при умові, що приріст аргументу Δx →0 (справа) і позначається: .

Означення 4. Лівосторонньою похідною функції y=f(x) в т. x₀ називають скінчену границю приросту функції y=f(x) в т. x₀ до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу Δx →0 (зліва) і позначається: .

Теорема. Для того, щоб функція y=f(x) в т. x₀ мала похідну необхідно і досить, щоб в цій т. x₀ вона мала правосторонню і лівосторонню похідну і вони б були рівні між собою.

Доведення випливає з критерію існування границі функції.

Задачі, що приводять до поняття похідної.

1.Задача про миттєву швидкість матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно і нехай задано закон руху матеріальної т. S=S(t) (залежність переміщення від часу).

Поставимо задачу обчислити швидкість матеріальної т. довільний момент часу t, коли матеріальна т. знаходиться в т. M.

Для розв’язання цієї задачі скористаємося поняттям середньої швидкості поряд з моментом часу t розглянемо момент часу t+Δt, Δt>0. Нехай за момент часу Δt матеріальна т. здійснює переміщення ΔS(t), тоді її середня швидкість протягом цього проміжку часу Δt буде дорівнювати

Зрозуміло, що чим менше Δt, тим точніше середня швидкість буде характеризувати швидкість матеріальної точки в момент часу t. А тому природнім є наступне означення.

Означення. Миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу t називається границя середньої швидкості V_c протягом проміжку часу Δt при умові, що проміжок часу Δt→0

З іншого боку, якщо записана вище границя існує, то вона дорівнює S′(t), отже V_M= S′(t). Висновок: миттєва швидкість матеріальної точки в момент часу t дорівнює похідній функції S(t) в цій точці. В цьому полягає механічний зміст поняття похідної.

Основні правила диференціювання функцій.

Теорема 1.(про похідну суми та різниці двох функцій). Якщо y=f₁(x), y=f₂(x) диференційовані в т. x₀, то в цій т. диференційованими будуть функції y=(f₁ ± f₂)(x) і більше того має місце рівність (f₁ ± f₂)′(x₀)=f₁′(x₀)± f₂′(x₀).

Доведення: Введемо до розгляду функцію F(x)=(f₁ + f₂)(x).

1. Беремо в т. x₀ надаємо приросту Δx, x₀+ Δx є D(F)=D(f₁)∩D(f₂)

2. Шукаємо приріст ΔF(x)=(f₁ ± f₂)(x₀+Δx) – (f₁ ± f₂)(x₀)=(f₁(x₀+Δx) ± f₂(x₀+Δx)) – (f₁(x₀) ± f₂(x₀))=( f₁(x₀+Δx) – f₁(x₀)) ± ( f₂(x₀+Δx) – f₂(x₀)) =Δf₁(x₀) ± Δf₂(x₀)

3. 

4. 

Звідси робимо висновок:

Теорема 2. (похідна добутку). Нехай функція y=f₁(x), y=f₂(x) – диференційована в т. x₀, тоді диференційована в т. x₀ буде функція y=f₁*f₂(x) і більше того .

Теорема 3. (похідна частки). Нехай функція y=f₁(x), y=f₂(x) – диференційовані в т. x₀, f₂(x₀)≠0 , тоді диференційована в т. x₀ і більше того ;

Теорема 4.(про похідну складеної функції). Нехай y=f(φ(x)) – складена функція, u= φ(x) – диференційована в т. x₀, а функція y=f(u) – диференційована у відповідній точці u₀=φ(x₀), тоді складена функція y=f(φ(x)) буде диференційована. в т. x₀ і її похідна в цій точці буде дорівнювати похідній функції в т. u₀ (зовнішньої ф-ії) на похідній функції φ (внутрішньої ф-ії) в т. x₀

;

Теорема 5.(про похідну оберненої функції). Нехай y=f(x) – неперервна і строго монотонна функція диференційована в т. x₀ і f′(x₀)≠0, тоді в деякому околі т. y₀=f(x₀) буде існувати функція x=f^-1(y),яка буде диференційована в т. y₀ і більше того похідна цієї функції в т. y₀

Похідні вищих порядків.

О. Похідною n-го порядку ф-ії y=f(x) в т. назив. похідну 1-го порядку в цій точці від похідної -го порядку і познач. .

Теорема. Нехай ф-ія в деякій точці мають похідні до -го порядку включно, а це довільна стала, тоді в т похідну до n-го порядку включно будуть мати ф-ії і більше того мають місце формули:

1. ;

2. ;

3. – формула Лейбніца.