9. Показникова ф-я та її вл.. Розклад показн. Ф-ї в степен. Ряд. Показн. Ф-я компл. Обл.. Ф-ли. Ейлера.

Ф-я виду наз. показниковою ф-єю.

Власт. 1) обл. визн. ф-ї - м-на ; Дов. Справді якщо , вираз визначений для будь-яякого х, 2) обл. знач. ;

3) при ф-я - зростаюча на , при ф-я спад на ;

4) , , , , ;

5) Ф-я неперервна на .

6) ф-я деференційовна в кожній точці: .

, , типовим представленням показникової ф-ї є ф-я .Для розвинення ф-ї в в степеневий ряд запишемо ф-лу Тейлора: Тоді (част.суми)—наз. залишков членом ф-ла Тейлора.

Теор. Ф-я на м-ні М розв. в ряд Тейлора т. і т.т. коли залишковий член на цій множ. , тобто коли ряд Тейлора наз. рядом Маклорена . Тоді і ф-я Лагранжа. Тоді . З’ясуємо, при яких числ. ряд (1). За означенням Даламбера . Отже, ряд (1) зб., тоді заг. член . Звідки . Т. чином ф-я розв. в ряд Тейлора на всій числовій осі, тобто

Озн. Ф-я знач якої обчисл. за ф-лою наз показниковою ф-єю. Ця ф-я багатозначна . Розглянемо степеневий ряд в комплексній площині, позн. Його суму через Коли то одерж. ф-ю дійсн. змін. Оскільки ост. Ряди збігаються на всій компл. площині то ф-я означена на всій компл. площині.

Ф-ли Ейлера. .

10. Логарифмічна ф-я її властивості. Розклад логар. Ф-ї в степеневий ряд. Лог. Ф-я в компл. Обл. Інтегральне озн. Логарифма.

Для ф-ї встан., що вона є непер. на . Зростає при приймає значення . Тоді за теор. про існув оберненої ф-ї для (це і є логарифмічна функція) обернена ф-я . Вона є неперер. і строго зростаючою, яку позн. ; строго зрост. на , множина значень . Ця ф-я диференційовна, тобто існує її похідна

. Отже,

Власт.: 1) за озн.

, тому

Розклад в ряд: ф-ю в околі т. х=0 неможливо розвинути в ряд тому в ряд розвивають ф-ю Справ. така ф-ла: Розглян. в який ряд розвив. За теоремою про інтегрування одерж. . Отже, ми одержали що на ф-я розвивається в такий ряд .

В комплексній обл.. Озн. Натуральним логарифмом компл. числа наз. число таке що і записується .

Властивості.

і тоді або для всіх компл. чисел крім 0. . . приймає безліч значень:

Означення. Ф-я компл. змінної, яка задана ф-лою , наз. логарифмічною ф-єю. Ця ф-я многозн. обл. значень і обл. визначень — вся компл. площина, крім 0. Інтегральне озн. логарифма.

Озн. Логарифмічною ф-єю наз. ф-я, яка задана ф-лою:

11. Тригонометричні ф-ї та їх властивості.

Ф-ї виду і обернені до них наз. тригонометричними. .

, обл. значень

періодична з періодом

- непарна

Нулі:

5) додатній від’ємний

6) Періоди зростання , спадання

7) Найбільше значення найменше - .

Розклад в степеневий ряд , , , . Тоді ф-я розвивається в ряд Тейлора в околі т. . Знайдемо який вигляд має ряд Тейлора. Для цього обл. значень n-ї похідної в т.0. . Отже ф-я розкладається в такий ряд: .

.

, обл. значень 2) періодична з періодом

3) - парна 4) Нулі: =

5) Проміжки знакосталості (дод.) (від’ємний)

6) Періоди зростання , спадання

7) Найбільше значення найменше - .

Аналогічно як і , розвивається в степеневий ряд .

Ряд

В комплексній обл.

, , ,