7. Теорема Больцано-Вейєрштраса. Критерій Коші збіжної числової послідовності.

Т1. (Больцано-Вейєрштраса) Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Дов. Нехай посл обмеж, тобто існує відрізок , що для всіх викон нерів . Поділимо пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міст нескін м-на еле-ів посл . Позн цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескін множ елементів посл . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків , у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .

Побуд підпосл посл виконаємо так: у значенні виберемо дов елемент із , який належ , у значенні  дов елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теор. про границю проміжної послідовності: , отже збіжна.

Озн. Послід. наз. фундаментальною, якщо

Т2. (Кр.Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і досить, щоб вона була фундаментальною.

Дов. Необхідність. Нехай послідовність збіжна, . Тоді . Візьмемо , Тоді

Достатність. фундаментальна. Зафіксуємо деякий номер , , Звідси випл що обмеж посл. За попер теор з неї можна вибрати збіжну підпосл. Нехай , це означає що . Доведемо, що . Розглянемо: . Якщо вибрати номер ,

, то . Візьмемо довільне і поклад у попер міркув , тоді .

Маємо,що .Це означає, що

8. Означ. І вл. Рац степеня. Означення та степення з ірац показником. Степенева ф-я та її вл. Степенева ф-я в комплексній обл.

Озн. Нехай і , тоді розуміють

Озн. Степенем числа з рац. показникам , де наз. число . Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників. .

Зауваж. Для - додатного і , число - додатне.

Зауваж. Будь-яке рац. число можна записати по різному у вигляді дробу, оце , для , значення а також не залежить від форми запису рац. числа r.

Справді

Вл: -додатніх

1) Дов.

2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) Нехай і , тоді , якщо і , якщо .

7) Для із неперервності , якщо і , якщо . 8) .

Лема 1. Для , при

Дов. (вл.8), тоді (за теор.) (озн. Гейне) -задов. вибраній умові , ; . В силу обмеження - сторонній корінь;

Лема2. Якщо показникову ф-ю розглядати як м-ну рац. чисел, то для всякого іррац.

Озн. Якщо -ірац. число, то під степенем числа з показником розуміють число , , зростаюча і не перерв. тому для неї існує обернена яка є зрост. і неперервною на . - обернена. Ф-я - теж є визначеною і зрост. на , як композиція зрост. ф-й ., . Крім того, ф-я є не перерв. на то і , як композиція неперервний ф-й є непер. на . Все це справедливо і при , але при цьому треба розглядати м-ну .

Озн. Ф-я задана ф-єю , на степеневою з показником степеня .

Якщо , то степенева ф-я визначена і для бо . При цілих степенева ф-я визначена і для . Для парних , ця ф-я парна, для непарних -непарна. Тому степеневу ф-ю достатньо дослідити на .

В

Л:

1) , 2) . 3)

Теор. Степенева ф-я з додатнім показником є зростаючою і неперер. на . Якщо показник від’ємний то цей факт справедливий на і ф-я спадатиме.

В комплексній обл.

1) - однозначна

2)

3) , де .

У цьому випадку ф-я є зліченою.