Теорема 4.(друга теорема Вейєрштрасса).

Неперервна на сегменті функція досягає найбільшого та найменшого значення.

Доведення.

Доведемо що існує точка в якій функції досягає свого найменшого значення.

Функція _{неперервна} на сегменті тому за першою теоремою Вейнштрасса вона обмежена.

_{Отже множина значень є обмежена множиною. Тому існує точка нижня меж}а цієї множини. Позначимо _.

Покажемо,що існує точка _, що . За властивістю точної нижньої межі маємо що .

Візьмемо , тоді така така, що . За теоремою Бельцано-Вейнштрасса з обмеженої послідовності можна вибрати збіжну підпослідовність , , _.

Маємо, крім того, .

Перейшовши в основні нерівності до границі при і врахувавши неперервність функції отримаємо _.Теорему доведено.

Т.5 (критерій неперервності монотонної ф-ії).

Для того, щоб монотонна на проміжку ф=ія була неперервною на цьому проміжку необхідно і досить, щоб множина її значень була також проміжком.

П.3 Рівномірна неперервність.

О.4 Ф-ія рівномірно неперервна на множині , якщо .

Якщо зафіксувати точку , яка є граничною для , то будемо мати

. А це означає , що .

Тобто якщо ф-ія рівномірно неперервна на мн. М, то вона неперервна в кожній точці М, тобто на М.

Т.6 (Кантора про рівномірну неперервність неперервної на сегменті ф-ії)

Будь-яка неперервна на сегменті ф-ія є на цьому сегменті рівномірно неперервною.

Доведення

Нехай неперервна на . Доведемо, що вона на є рівномірно неперервною. Припустимо супротивне.

Тоді . Нехай , тожі існують послідовності такі, що . Послідовність — обмежена, тому з неї можна вибрати збіжну підпослідовнсть , .

Маємо .

Перейшовши до границі при будемр мати, що .

Отже

Але з іншого боку

І, отже,

Суперечність, яка і доводить, що є рівномірно неперервна на .

Теорему доведено.

П.4 Існування та неперервність оберненої ф-ії.

Т.6 Нехай ф-ія означена на проміжку , зростає (спадає) та неперервна на цьому відрізку, і отже множина її значень є проміжком .

Тоді обернена ф-ія існує, зростає (спадає) і неперервна на проміжку та множина її значень є проміжок .

6. Поняття границі числової послідовності, її властивості.

Озн. Функція, область визначення якої є множина натуральних чисел називається послідовністю, тобто це відповідність при якій кожному натуральному числу ставиться єдиний елемент. Позначається

Озн.(границі послідовності на мові околів) Точку а називають границею послідовності , при , якщо такий що для члени послідовності будуть попадати в .

Озн.(границі послідовності на мові ) Точку а називають границею послід. , при , якщо . Познач: . Послідовності які мають наз. збіжними. Збіжна послідовність є обмеженою.

Т1. Нехай збіжна послідовність, , то для .

При буде .

Т2. Нехай збіжна послідовність, , для , тоді .

Т3. Нехай і збіжні чис. посл., , для , тоді .

Т4. Нехай і збіжні чис. пос., , то для

Оз. Числова множ. називається обмеженою зверху(знизу), якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність ( )

Оз. Найменша верхня межа обмеженої зверху числ. множини називається точною верхньою межею (гранню) цієї множини і позначається .

Оз. Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею (гранню) цієї множини і позначається .

Т5. Для того, щоб дійсне число було точною верхньою межею обмеж зверху числ множ , необ і досить, щоб виконув наступні умови:

1. , 2)

Оз. Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо виконується нерівність для усіх .

Т6. (про граничцю монотоної послідовністі). обмежена монотонна послідовність має границю, тобто збіжна.

Дов. (для неспадної посл ). Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови: 1) ; 2) існує таке число , що .

Розгл числ множ , яка склад з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу. Позначимо . Покажемо, що . Оскільки  точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого існує номер такий, що . Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність . З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .