Парні та непарні ф-ії.

О.1 Числова мн. Е назив. семетричною відносно початку координат, якщо разом з точкою х вона містить і точку .

О.2 Ф-ія називається парною якщо:

1. є множиною симетричною відносно початку координат;

2. має місце рівність .

О.3 Ф-ія називається непарною якщо:

1. є множиною симетричною відносно початку координат;

2. має місце рівність .

Наприклад. Парними є ф-ії непарними є .

Є ф-ії які є ні парними ні непарними: .

Т.1 Графік парної ф-ії симетричний відносно осі ординат, а графік непарної — відносно початку координат.

Т.2 1. Сума, різниця, добуток та частка двох парних ф-ій та сума, різниця двох непарних ф-ій є ф-ія парна.

2. Сума, різниця, добуток та частка двох непарних ф-ій та добуток та частка парної та непарної ф-ії є ф-ія непарна.

_{Т.3 Будь-яку ф-ію} із симетричною відносно початку координат областю визначення можна одати у вигляді суми парної та непарної ф-ії, при чому це подання єдине.

Періодичні ф-ії.

О.1 Числова мн. Е назив. періодичною з періодом , якщо разом з точкою х цій множині належать точки і .

Наприклад, множина цілих чисел .

_{О.2 ф-ія} назив. періодичною з періодом _{, якщо:}

1) є преідичною множиною з періодом .

2) .

Т.1 Якщо ф-ія є періодичню з періодом , то вона буде періодичною ф=єю і з періодом .

_{Наслідок. Якщо ф-ія} є періодичною, то вона має і додатній, і від’ємний період.

Т.2 Якщо ф-ія періодична з періодом та , то вона буде періодичною із періодом .

Т.3 Нехай ф-ія є періодичною з додатнім періодом , тоді періодом цієї ф-ії буде довільнае число

О.3 Якщо ф-ія має найменший додатній період, то його називають основним періодом ф-ії.

_{Основним періодом ф-ії та є , та є ю.}

_Т.4 Якщо - основний період ф-ії , то будь-який інший період ф-ії матиме вигляд _{Т.5 Нехай ф-ія} , область визначення якої є множина дійсних чисел має основний період _{, тоді основним періодом ф-ії .}

Т.6 Нехай є періодичною з періодом , а ф-ія є періодичною з періодом , тоді періодом ф-ії буде число .

Зауваження.

_{Вказаний період необов’язково буде основним періодом. Навіть якщо періоди} та є основними періодами ф-ії та .

5.Властивості функцій неперервних на сегменті.

П.1.Теореми Больцано-Коші.

Означення 1. Функція називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Означення 2.Функція називається неперервною на сегменті якщо вона неперервна на інтервалі , неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці .

Теорема 1. (Больцано-Коші про обертання функції в нуль).

Якщо функція неперервна на сегменті і на кінцях цього сегмента приймає різні за знаком значення, то існує принаймі одна точка , що .

Т.2 (Больцано-Коші)

Ящо ф-ія неперервна на проміжку і вточках вона приймає різна значення , то для кожного , що лежить між і існує точка між ,що .

Іншими словами приймає на всі проміжні значення між і .

Доведення

_{Припустимо (для конкретності), < . Розглянемо ф-ію . Маємо .}

_{Згідно з теоремою Больцано-Коші про обертання ф-ії в нуль існує , що . Тому .}

Теорему доведено.

П.2 Теорема Вейєрштрасса.

Т.3 (перша теорема Вейєрштрасса)

Неперервна на сегменті ф=ія обмежена на цьму сегменті.

Доведення

Від супротивного. Припустимо, що ф-ія -необмежена зверху. Тоді для будь-чкого існує , що .(1)

Оскільки обмежена послідовність , то за теоремою Бльцано Вейєрштрасса з неї можна вибрати збіжну підпослідовність .

Нехай , .

Тому .

Отже Тому функція неперервна в точці Тоді за означенням неперервної по Гейне функції

Тому послідовність є обмеженою в тому числі зверху.

Але згідно

Тобто необмежена зверху. Суперечність яка доводить, що функція неперервна на сегменті є обмеженою зверху. Аналогічно доводиться обмеженість цієї функції знизу.

Теорему доведено.

Означення 3. Функція на множині М досягає свого (найменшого)значення, якщо існує _, що для будь якого _.