Границя ф-ії та її неперервність. Різні означення та їх еквівалентність.

_О.1 Нехай _{і нехай . -околом точки назив.}

_{1. .}

_{2. ;}

_{3. ;}

_{4. .}

О.2 Т. назив. гарничною для мн. М, якщо в будь-якому околоі точки існує точка з мн. М відмінна від т. .

Т.1 (перший критерій граничної точки).

Для того, щоб т. була граничною точкою для мн. М необхідно і досить, щоб будь-який окіл т. містив нескінченно баагато точокз мн.М відмінних від точки .

Т.2 (другий критерій граничної точки).

Для того, щоб т. була граничною точкою для мн. М необхідно і досить, щоб існувала послідовність точок мн. М така, що , але .

О.3 (означення границі ф-ії на мові околів).

називається границя ф-ії в т. , що є граничню для , якщо . Позначається цей факт .

В залежності від того, якими є точки , або конкретизуючи в залежності від ситуації поняття околу із сформульованого вище означення (1) можна отримати 16 означень границі ф-ії по Коші.

_{О.1’ .О.2’ Нехай , , .}

_{О.3’ Нехай , , .}

_{О.4’ Нехай , , .}

_{О.5’ Нехай , , .}

_{О.6’ Нехай , , .}

_{О.7’ Нехай , , .}На мові околів:

_{О.8’ Нехай , , .}

_{О.9’ Нехай , , .}

_{О.10’ Нехай , , .О.11’ Нехай , , .}

_{О.12’ Нехай , , .О.13’ Нехай , , .}

_{О.14’ Нехай , , .}

_{О.15’ Нехай , , .}

_{О.16’ Нехай , , .}

Означення границі ф-ії по множині.

О.1 називається границею ф-ії в т. на мн. _{, якщо є границею ф-ії (звуження ф-ії на мн. ) в т.} .

_{Познач. .}

О.2 називається границею ф-ії в т. на мн. _{, якщо} .

З цього означення конкретизуючи околи т. , можна отримати 16 різних означень границі ф-ій по мн.

О.1’ .Означення границі ф-ії по Гейне (на мові послідовностей).

Т.(критерій Гейне існування границі ф-ії).

Для того, щоб була границею ф-ії в т. необхідно і досить, щоб виконується рівність .

О.(границі ф-ії по Гейне) назив. границею ф-ії в т. якщо виконується рівність .

Означення границі ф-ії по Гейне еквівалентне границі ф-ії по Коші.

_{Різні означення неперервної ф-ії та їх еквівалентність.}

_{О. 1 Функція} називається неперервною в точці , якщо границя цієї ф-ії при існує і дорівнює значенню ф-ії в точці .

О.2 (на мові околів). _{Функція} називається неперервною в точці , якщо .О.3 (на мові ). _{Функція} називається неперервною в точці , якщо ._{О.4 (на мові послідовностей). Функція} називається неперервною в точці , якщо для будь-якої прслідовності !!!!!!1

О.5 (на мові приростів) . _{Функція} називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу!!!!!!!!!!!!нескінченно малий приріст ф-ії. Тобто .

Т. Означення неперервної ф-ії на мові і на мові приростів будуть еквівалентними.