2.Незчисленні множини. Незчисленність множини дійсних чисел.

О.1 Якщо існує взаємооднозначне відображення мн. А на мн. Б, то кажуть, що мн. А і Б рівнопотужні (мають однакову потужність).

О.2 Мн. назив. зліченню(зчисленною), якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел, тобто існує взаємооднозначне відображеня мн. на мн. натуральних чисел.

Очевидно, що мн. зліченна тоді і тільки тоді, коли її можна записати у вигляді послідовності . Спарвді, якщо мн. зліченна, то існує бієктивне відображення . При цьому відображ. деякий елем. . Навпаки .

Т.1 Множина усіх чиселвідрізка незліченна, тобто не може бути записана у вигляжі послідовності.

Доведення

Припустимо, що ця множина зліченна і тоді її можна записати у вигляді посллідовності:

всі числа, крім одиниці і тому її можна записати таким способом:

Щоб виявити суперечність з умовою розглянамо .

Зауважимо, що і тому воно повинно дорівнювати деякому з чисел .

Вийшла суперечність. Отже множина усіх чиселвідрізка незліченна.

О.3 Множина називається множиною потужності континууму або континуальною множиною.

Познач. .

Т.2 Якщо з нескінч. мн. вилучити скінченну (зліченну) мн. так, що залишиться нескінченна множина , то .

Т.3 Об’єдання скінченної або зліченної сукупності множин потужності континууму є мню потужності континиуму.

Об’єднання контиууму множин потужності континууму є множиню потужності контнууму.

П-ди иножин потужності континууму.

1. Будь-який відрізок є множиною потужності континууму.

Доведення

Щоб це довисти, требе задати взаємооднозначне відображення .

Найпростіше це здійснити за допомогою елементарних ф-ій.

,

відображ. .

Це відображення ін’єктивне, бо ф-ія зростаюча. Воно є і сюр’єктивне, бо .

2. Будь-який інтревал має потужність континиуму.

Оскільки інтревал одкржується з вдірізка інтревал вилучення двох кінцевих точок, то за т.2 .

За транзетивністю виходить, що . Отже інтервал має потужність континиуму.

3. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континиуму на підставі т.2.

Тому що мн. — нескінченна.

— нескінченні і отримується вилученням з мн. мн. . потужність континиуму.

4. Множина всіх дійсних трансидентних чисел має потужність континиуму.

За теоремою 2, бо одержується з мн. , мн (а готичне) арифметичних чисел, яка є зліченною.

– нескінченна. У протилежному випадку була б зліченною, бо злічена, отже – нескінченна і за т.2 , отже має потужність континиуму.

3. Відображення множин (функції). Границя ф-ії та її неперервність. Різні означення та їх еквівалентність. Відображення множин (функції).

О.1 Відповідність між двома множинами та при якій кожному елементу з мн. відповідає не більше ніж один елемент з множини назив. функцією або функціональною залежністю між множинами та .

, – залежна змінна або ф-ія; – незалежна змінна.

О.2 Нехай та – довільні множини, – функціональна відповідність між цими множинами. Мн. тих елементів з мн. , яким функціональна відповідність ставить елемент з мн. _{назив. областю визначення ф-ії} і похначається .

Існує інший підхід до означення поняття ф-ії.

_О.3 Нехай та — довільні множини. Якщо за деяким правилом кожному елементу мн. ставиться у відповідність єдиний елемнт з множини _{, то кажуть, що між мн.} та _{встановлюється функціональна залежність або ф-ія.}

_О.4 Нехай та – довільні множини, _{– функціональна залежність між цими множинами. Мн. тих з мн.} , які поставлені у відповідність ел. _{з мн. з області визначення за допомогою ф-ії називається множиною значень ф-ій і познач. .}

О.5 Ф-ія область визначення і множина значень якої є числовими множинами назив. числово. ф-єю.

О.6 Нехай – числова ф-ія. Множина точок називається графіком ф-ії .

Способи задання ф-ій

Існують різні способи задання ф-ії. Найбільш конкретними способами задання ф-ії є:

• Аналітичний;

• Табличний;

• Графічний;

• Словесний.