26. Степеневі ряди в комплексній обл. Круг збіжності.

-функціональний комплексний ряд (1)

=> (1)-степеневий комплексний ряд

- степеневий комплексний ряд (2)

-коефіцієнти степеневого ряду

Озн. Якщо в т. ряд (2) збігається, то ми наз. її т. збіжності компл. степеневого ряду.

Множина всіх точок збіжності степеневого ряду наз. областю збіжності степеневого ряду.

При : (3)

Теор Абеля. Якщо степеневий ряд (3) збігається в т. : якщо степеневий ряд (3) розбігається в точці то він буде розбіжний в :

Дов. Оскільки ряд (3) збігається в т. , то отримаємо: збіжний. За необхідною умовою збіжності ряду

. Виберемо Виберемо Складемо ряд (4) Покажимо, що цей ряд збіжний

загальний член нескінченно малої геометричної прогресії, яка є збіжним числовим рядом.

. За ознакою порівняння ряд (4) збіжний, а отже і ряд (3) є абсолютно збіжним в : . Нехай ряд (3)розбігається в т. . Покажемо, що він буде розбігатися в т. : . Припустимо супротивне, що ряд (3) в т. збігається. Тоді за 1-ю частиною теореми він повинен збігатися в т. . Це суперечить умові.

Теор. (Коші-Адамара)

1) якщо , то степеневий ряд (1) збіг абсолютно на всій числовій осі;

2) якщо , то степ ряд (1) збігається тільки в т ;

3) якщо , то степ ряд (1) збігається абсолютно в інтервалі і розбігається поза ним.

Якщо , то степ ряд збігається в проміжку , , рівність є формулоюю Коші-Адамара.

Теор. Нехай степ ряд має радіус збіжності , тоді має місце рівність: . Радіус збіжного останнього степ ряду .

Дов. Оскільки до степеневого ряду на можна застосувати Т. про по члене диференціювання степеневого ряду, то отримаємо рівність . Нехай , тоді мусить точка - збіжний ряд , по члено про диференціювати - теж в точці зб. - а це неможливо, бо , тому припущення, що хибне, тому .

Теор. Степ ряд збіг рівномірно на , що включається в інтервал збіжності цього ряду.

Теор. Нехай степ ряд має радіус , тоді ряд утворений по членим диференціюванням має той самий радіус збіжності і в інтервалі збіжності має місце рівність: .

Озн.Степ рядом називається ряд, що має вигляд (1), де - фіксована т, - деяка комплексна зміна, якщо часто розглядають так (2). Степ ряди є частинними випадками функціональних рядів (2), де - деякі функціїї задані на множині .

Функціональний ряд (2) називається рівномірно збіжним на множині до функціїї , кщо .

27. Ф-ла і ряд Тейлора. Біноміальний ряд.

Нехай функція неперервна на і диференційовна на . Тоді на функція задовільняє всім умовам т. Лангранжа, згідно з якою , що залежить від вибору т. : . Узагальненням цієї формули є формула Тейлора.

Теор. Нечай функція має на похідні до n-го порядку включно і нехай на має похідну го порядку, p-довільне додатне число. Тоді що має місце формула:

Многочлен -називається многочленом Тейлора.

-називається залишковим членом у формулі Тейлора у формі Шльомиха і Рошша.

Насл. Нечай функція задовільняє усім умовам попередньої теореми. Тоді що

-залишковий член у формі Лагранжа.

Насл.

- залишковий член у формі Коші.

Озн. Нехай функція задана в деякому околі т. і нехай в т. ця функція є нескінчено разів диференційованою. Тоді степеневий ряд виду називається рядом Тейлора функції .

Озн. Кажуть, що функція розкладається в степеневий ряд на якщо вона є сумою цього ряду на цьому інтервалі, тобто якщо

Теор. Для того, щоб ф-я , що має в інтервалі похідні всіх порядків розвивалась в свій ряд Тейлора щоб залишковий член в ф-лі Тейлора (Лагранжа або Коші) на збігався до нуля.

Біноміальний ряд

Розкладемо в ряд Макларена степеневу функцію . Для ця функція визначена для тому найбільшим інтервалом в якому можна розкласти її в ряд Маклорена буде

……………………………………………………………

(1)

Покажимо, що розглядувана функція розкладається в степеневий ряд (1) на . Для цього покажимо, що загальний член

.(2)

Розглянемо ряд . Дослідимо його на збіжність за ознакою Даламбера.

За ознакою Даламбера розглядуваний ряд буде абсолютно збіжним а отже загальний член .

(3)

Маємо, що -1<x<1, , послідовність є обмежиною. Маємо крім того що , , , ( , і ( , -послідовність, що є обмежиною. Таким чином в (2) маємо добуток нескінчено малої послідовності на обмежені послідовності, що означає що є н.м.п.

Згідно з критерієм розкладу функції в степеневий ряд робимо висновок, що функція розкладається в степеневий ряд і має місце рівність: