23. Додатні числові ряди, вл-ті збіжних рядів, критерій зб. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтеграл. Ознака Коші.

Нех - деяка числ послід, тоді наз додатнім числовим рядом, якщо всі його члени невід’ємні.

- перша частинна сума.

…

- -та частинна сума.

Числов ряд наз зб, якщо скінчена послідовності його частинних сум. Цю гран наз сумою ряду . Всі інші наз розбіжн.

В-ті збіжних рядів:

Т. Якщо числові ряди , є зб відповідно до чисел і , то , ряд - зб, при чому до числа .

О. Ряд вигляду наз -тим залишком ряду і позн .

Т. ряд і його -тий залишок збіг до розб одночасно.

Т. (критерій зб додатного числового ряду) Для того, щоб додатній числовий ряд зб н і д, щоб послідовність його частинних сум була обмежена зверху.

Д. Необхідність. Нех ряд - збіжний числовий ряд, тоді = S=sup , (по всіх n) – за теоремою Веєрсштрасса про існування границі обмеженої монотонної послідовності. Звідки маємо, що всі члени ≤S, для будь-яких n, а це означає, що послідовність - є обмеженою.

Достатність. Нехай послідовність ( ) – обмежена, але ця послідовність встановлена вище, є крім того неспадною послідовністю, а тому за теоремою Вейрсштрасса про існування границі обмеженої монотонної послідовності = S, а це означає, що ряд - збіжний.

Ознаки порівняння:

Якщо для невід’ємних рядів (1), (2) при справедливе співвідн , то з зб ряду (2) зб ряду (1), а з розб ряду (1) розб ряду (2).

Якщо для невід’ємн рядів (1), (2) , то 1) з зб (2) зб (1) 2) , з розб (2) розб (1).

Н. Якщо для невід рядів (1), (2) , - дод конкретне число, то ряди (1) і (2) зб або розб одночасно.

Т. (озн Даламбера) Якщо для дод числового ряду , то

1) , - розб.

2) , - зб.

3) , сумнівний випадок.

Д. 1) нех (1). За ММІ покажемо . Справді:

1)

2) нех

3) розгл (показ)

Нех , - зб за І озн порівн. - зб, отже - зб.

2) нех , . Тоді

- розб.

3) нех - розб, Нех - зб.

Т. (інтегр озн збіжності) Якщо для дод числового ряду можна вказати ф-ю таку, що:

1) означ на і монотонно на ньому;

2) неперервна на ;

3) , то зб чи розб даного ряду співпадає з зб чи розб невласного інтегр .

Озн Коші. Якщо для ряду (1) то ряд зб, якщо , що то ряд розб.

Т. (інт озн Коші) Якщо для (1) така непер, невід, незрост ф-я на , що , то для того, щоб (1) зб н і д щоб зб невласний інт .

24. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно та умовно збіжні ряди.

О. Ряд вигляду наз знакозм.

Т. (озн Лейбніца) Якщо ряд - знакозм і в ньому , члени по модулю не зрост, тобто , то такий ряд зб.

Д. Розгл для знакозм ряду част суми . Наступний член цієї послід буде . Якщо врахув, що , то . Тоді , тобто . Пок, що посл обм зверху . Отже, , тоді - обм зверху. Ми довели, що послід частинних сум з парними номерами , обм зв (Т. Веєрштрс). - зб . Поговоримо про послід част сум з непарними номерами: , . , маємо, , (за вл границь послід) виход з зб ряду, знакозм ряд буде зб. - зб. Тр дов.

О. Ряд наз абсол зб, якщо ряд - зб.

О. Ряд наз умовно зб, якщо ряд - розб.

Т. Абсол зб ряд є зб, причому .

Т. Якщо ряд є абс зб до числа , то й ряд утв з нього шляхом перестановки членів також буде абс зб, причому до того ж самого числа .

Т. (Рімана) Якщо ряд зб умовно, то яке б не було дійсне число , члени цього ряду можна так переставити, щоб утворений ряд зб до .

Нех маємо числові ряди (1), (2). Ряд виду , де наз добутком рядів (1) і (2).

Т. Якщо ряди і абс зб до чисел і відповідно, то їх добутком за Коші також є абс зб числовим рядом, причому до числа .