21. Поняття кривої. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обч. Довжини дуги при допомозі озн. Інтеграла.

Озн. неперервною кривою на координатній площині наз мн.точок цієї площ., координати яких є неперервними ф-ями деякого параметра . Це параметрично задана крива, яку уявляють як впорядковану сукупність точок в напрямі від поч. точки до кінцевої. Неперервна крива наз. Жордановою якщо вона не має точок самоперетину, тобто: за винятком хіба що початкових і кінцевих точок. Озн. жорданова крива наз. гладкою, якщо вона задається р-нням(1), в яких ф-ї мають неперервні похідні, що одночасно не = нулю. Якщо крива замкнена, то і . Крива , яка задається рівністю (1)наз. спрямлюваною, якщо множина довжин всіх ламаних , вписаних в цю криву, які відповідають всім можливим поділам , обмежені в сукупності, тобто . При цьому число , де наз довжиною кривої . Якщо ж довжини ламаних не обмежені в сукупності, то криву наз. не спрямованою і її довжина = . Теор.1.(Жордана). Неперервна крива , яка задається рівністю (1) є спрямлюваною т. і т.т., коли ф-ї є ф-ями обмеженої варіації.

Озн. Задана на ф-я наз ф-єю обмеженої варіації на , якщо

Дов. Необхідність: Дано - спрямлювальна. Д-ти: мають обмежену варіацію,за означенням спрямл. кривої або при . Це означає, що є ф-ями обмеж. варіації.

Достатність: Дано: є ф-ї обмеж. варіації. Д-ти: - спрямлювальна. Вірною є рівність: . . Тоді для маємо: . Довжини ламаних обмежені, тому крива - спрямлювальна.

Озн. Неперервна пряма , яка задається рівністю (1) наз. спрямлюваною, якщо скінчена границя , де -сукупність всеможливих поділів , і -довжини ламанихвписаних в криву , що відповідають цим поділам. При цьому число наз. довжиною .

Теорем. Всяка гладка крива , що задається рівністю (1), є спрямлюваною і її довжина може бути обчислена за ф-лою. .

Н.1. Якщо крива задається явним р-ням має непер. похідну на , то ця крива спрямлювана і обчислюється за ф-лою .

Н.2. Якщо крива задається полярним р-нням і ф-я має неперер. похідну на і , то крива прямлювана, а її довжина обчисл. за ф-лою .

22. Застос визн інтегр до обч тіл обертання та площ поверхонь обертання.

Озн. Довільну обмежену множину точок в просторі будемо наз. тілом. При цьому під обмеженою множиною точок простору будемо розуміти множину, яка повністю міститься в деякому крузі в центрі початку координат.

Важливо, що кожен многогр має . Щоб підійти до пон дов тіла розгл усі довільні многогр вписані в це тіло та описані навколо нього.

то - об’єм тіла, а тіло наз кубовним.

Т. Тіло є кубовним тоді і тільки тоді, коли послід і , таких що

Т. Нех тіло обмеж і задов умови:

1) площі попереч перерізів тіла площ є непер ф-єю на , де і відпов найб і найменше з абсцис точки .

2 ) проекції вказаних перерізів на пл при різних включ одна в одну, тобто їх контури або змінюються або включ один в другий.

Тоді тіло - кубовне, об’єм його можна обч за ф-лою: (1).

Д. Утв дов поділ

Оск , досягають в деяких точках від . Розгл інтеграл суми Дарбу

Оск непер, то інтегр на , при чому (2). Зауважимо тепер, що добуток деякого циліндра вписаного в тіло , що відпов відр , тоді вся (3) деякого тіла, що є об’єднанням циліндрів вписаних в окремі шари цього тіла. Отже, є об’ємами деяких кубовних тіл вписаних в тіло . В наслідок умови (2) теореми всі циліндри, які розгл справді вписані в . Аналогічно верхні суми Дарбу є об’ємами деяких кубовних тіл, що описані навколо тіла і тоді р-сть (3) означає, що послідов кубовних тіл вписаних в тіло і послід куб тіл описаних навколо , для -му яких викор р-сть (3). Тоді згідно з критер кубовності, тіло кубовне і його об’єм = інтегралу (1). Теор дов. Н. Якщо тіло одерж оберт навколо осі криволін трапеції, обмеженої зверху графіком невід’ємної і непер ф-ї на , то воно кубовне і об’єм його можна обч за ф-ю: Дійсно, в цьому випадку переріз цього тіла площ являє круг радіусом якого є . Тоді . Оск ф-я непер, то - неп оск дане тіло є тілом обертання, то попер перерізи задов 1-у і 2-у умови попер теор. Тому за теор дане тіло кубов і Озн. Нех ф-я задана на , утв поділ і на графіку цієї ф-ї розгл точку з коорд . Сусідні точки сполуч між собою відріз, внаслідок чого отрим ламану, вписану в графік цієї ф-ї. Разом з графіком навколо оберт і ця ламана, кожна ланка ламаної описує бічну поверхню зрізаного конуса, тоді при обертані ламаної одерж поверхню, яка є об’єднаням таких бічних поверхонь зрізаних конусів, тому площа цієї пов: , де - ребро.Якщо , то поверхню отриману при оберт графіка ф-ї наз квадровною, а саму наз площою цієї поверхні.

Т. Якщо поверхня одерж обертанням графіка невід’ємної і непер диф на навколо то ця поверхня квадровна і площа її знаход за ф-ою: .