20. Поняття площі плоскої фігури. Квадрові фігури, застосування означеного інтеграла

Озн. Довільну обмежену множинну точок площини наз. плоскою фігурою, при цьому під обмеженою будемо розуміти множину, яка повністю міститься в деякому крузі в центрі початку координат.

Будемо вважати що кожен многокутник має площу. Фігура що має площу-

квадровна. Властивості площі квадровних фігур: 1. Невід’ємна (площа квадровної фігури є невід’ємною). 2. Адетивність (площа квадровної фігури, що є об’єднанням 2 неперервних квадровних фігур = сумі їх площ ).

3. інваріантність ( площа 2 рівних квадровних фігур рівні між собою). 4. Монотонність (якщо квадровна фігура К₁ включається в квадровну фігуру К₂, то S(К₁)≤ S(К₂)).

Т.(1критерій квадровності плоскої фігури). Для того, щоб плоска фігура G була квадровною н. і д., щоб ( для будь-якого >0) існували клітинні фігури (клітинною фігурою будемо наз. плоску фігуру, яку можна подати у вигляді об’єднання скінченного числа попарно неперетинних прямокутників ) А’, В’, такі, що А’ включаєт. G вкл. В’ і S(В’)-S(А’)< .

Т.(2 критерій квадровності плоскої фігури). Для того, щоб плоска фігура G була квадровною н. і д., щоб ( для будь-якого >0) існували квадрові плоскі фігури P<G<R, і S(R)-S(P)< .

Розглянемо всі вписані і описані многокутники . Кожний многокутник має площу маємо . . Множина обмежена з верху площиною тому вона має . нижня площа ф-ри 0. Оскільки за озн. є найменша зверху межа мн. , а - довільна верхня межа, то множина обмежена знизу числом , тому множ. і цей є . У випадку коли фігура наз. квад подібною. А число S- називають її площею.

Теор. Плоска фігура є квадровною т. і т.т., коли послідовність многокутників і і таких що і і вони рівні між собою. При цьому спільне значення цих = площі фігури .

Теор. Якщо ф-я невід’ємна і неперервна на , то криволінійна трапеція, яка обмежена з верху графіком цієї ф-ї є квадровною. І площа її обчислюється за ф-лою: .

Дов. Утвор дов. подін розглянемо суми Дарбу для цього поділу оскільки ф-я неперервна на , то вона но цьому відрізку також неперервна. І за критерієм інтегровності (1).

Геометрично являє собою площу деякої східчастої фігури, яка є многокутною вписаної в трапецію . Аналогічно площа східчастої фігури, тобто многокутника описаного навколо . Рівність (1) тоді буде означати, що площ східчастої фігури вписаних і описаних навколо , вони= інтегр. (1). Виберемо послідовний поділ , так що , тоді отримаємо послідовність многокутників вписаних і описаних навколо , які відповідають інтегральним сумам . Значить існує послідовність многокутників і і таких що на підставі рівності (1) при ,тоді за критерієм квадровності це і означає, що криволінійна трапеція квадровна і її площа= інтегралу (1). Т.д.(теор. довед.)