17.Первісна ф-я та неознач. Інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.

Озн. Первісною функції називається функція яка диференційовна на проміжку і .

Теор. Нехай функція є первісною для на . Для того щоб функція була первісною для на необхідно і досить щоб існувала стала С, така що: .

Дов. Необхідність. первісна на . Потрібно довести що , така що: . бо і є первісними для , тому маємо, що звідки робимо висновок, що функція є сталою, тобто існує таке число С, що , або ж .

Достатність. В достатності дано що існує така стала С, що , тоді функція є первісною. . Отже є первісною на . Т.Д.

Озн. Множину усіх первісних функцій на називають невизначеним інтегралом функції , і позначають .

Властивості. 1. (

2.

3.

Підстановки в заг. вигляді.

Теор.Нехай функція задана на проміжку , функція задана на , строго монотонна і диференційовна на цьому проміжку і крім того . Якщо первісна функція на то має місце формула

Дов. Зауважимо перш за все що в силу монотонності ф-ції існує функція обернена до неї , яка крім того диференційована. Маємо крім того що функція є первісною для . Врахувавши все вище сказане за т. про похідну складеної та оберненої функції будемо мати що . є первісною. Т.Д.

Інтегрування частинами.

Теор. Нехай функції i – диференційовані на , і на цьому проміжку існує первісна для ф-ції тоді на цьому проміжкубуде існувати первісна для функції і більше того

Дов. Функції U та V диференційовані на проміжку а тому за теоремою про похідну добутку двох дифер. Функції – дифер. Буде ф-ція і більше того . (4). Для ф-ції первісною буде . Для за умовою теореми превісна існує, а тому за властивістю лінійності невизначеного інтеграла буде існувати первісна для функції , тобто для . Крім того за цією ж властивістю лінійності з рівності (4) будемо мати

. Т.Д.

18.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегрованості функцій. Критерій інтегровності. Інтегровн. Неперерв. Функції.

Озн1. Сукупність точок виду наз. розбиттям сегмента і позначається буквою . .

Озн2. Нехай - довільне розбиття сегмента . Сегменти , будемо називати відрізками розбиття, а число де , будемо називати діаметром розбиття .

Озн3. Нехай – ф-ція задана на сегменті , - довільне розбиття цього сегменту. Виберемо довільним чином точки із сегм. розбиття. Суму виду

називають інтегральною сумою, складеною для функції , що відповідє розбиттю сегмента , та вибору точок із відрізків розбиття.

Озн4. Число називають границею інтегральних сум при умові що якщо

Озн5. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум при умові, що , то функцію називають інтегрованою на сегменті , а значення цієї границі називають визначеним інтегралом і позначають: .

Таким чином: . Таким чином число називають визначеним інтегралом, якщо:

для .

Теор. (необхідна умова інтегровності). Якщо функція інтегровна на сегменті , то вона обмежена на сегменті.

Заув. що обернена теорема невірна, не кожна обмеж ф-я є інтегровна. Н-д для ф-ї Діріхле . Gозначимо через . . Позначимо через - нижня і верхня інт. Суми Дарбу. Очевидно .

Теор.(критерій). Для того щоб обмежена на сегменті функція була інтегрованою на цьому сегменті необхідно і досить щоб .

Насл. Для того щоб обмежена на сегм. функція була інтегрованою на цьому сегменті необхідно і досить щоб

Теор. Всяка неперервна на сегменті функція є інтегрованою на цьому сегменті.

Теор. Всяка монотонна на сегменті функція є інтегрованою на цьому сегменті.