15. Екстемуми ф-ії. Необхідні умови естемуму. Достатні умови екстремуму.

О.1 Т. назив. точкою мінімуму (точкою максимуму) ф-ії , якщо існує окіл, такий що пр. .

Значення ф-ії в точці називається максимумом ф-ії, а значення ф-ії в точці називається мінімумом ф-ії. Точки , називаються точками екстремуму, а максимум і мінімум називається екстремумом ф-ії.

Т.1 (необхідна умова екстремуму ф-ії). Якщо є точкою екстремуму ф-ії і вцій точці існує похідна, то вона дорівнює 0: .

Доведеня

Нехай — точка мінімуму, тоді існує такий , . Точці надамо приросту , пр. , тоді

.

; .

Але в т. ф-ія має похідну, то

.

Теорему доведено.

О.2 Точки, в яких похідні ф-ії =0 називаються стаціонарними(критичними).

З доведеної теореми випливає, що екстемуми ф-ії слід шукати серед стаціонраних точок, якщо ф-ія – диференційовна в усіх точках області визначення.

Зауважимо, що стаціонарні точки можуть і не бути точками екстемуму.

Т.2 (перша достатня умова екстремуму ф-ії).

Нехай ф-ія диференційовна в деякому околі т. в якій вона є неперервною. Якщо при переході через т. похідна ф-ії змінює свій знак, то точка буде токою екстремуму і більще того т. буде точкою мінімуму, якщо похідна буде змінювати знак з «-» на «+» і точкою максимуму, якщо похідна змінюватиме знак з «+» на «-».

Доведенння

Н ехай наприклад при переході через точку похідна ф-ії змінює знак з «+» на «-», тоді існує такий окіл, що . З першого співвідношення виникає, що ф-ія , .

Якщо ж вибир.

пр. . А це означає, що є точкою максимуму.

Т.2 (друга достатня умова). Нехай ф-ія не диференційовна в деякому околі т. , а в самій т. , крім того, ф-ія має похіднк 2-го порядку. Тоді якщо , то т. буде точкою мінімуму. Якщо , то т. буде точкою мінімуму максимуму.

Доведення

Нехай

.

За теоремою про перехід до гарниці ф-ії в нерівностях робимо висновок, якщо . Отже, при переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+» , а це означає, що точка точкою мінімуму.

16. Опуклість, вгнутість та точки перегину графіка ф-ї.

Озн. Кажуть, що графік ф-ї на і одночасно сама ф-я на цьому відрізку є опуклими вниз, якщо якщо графік ф-ї розташований вище дотичної до чього графіка в точці за абсцисою . І опуклий в гору якщо розташування зворотнє.

з. Т. на точкою перегину графіка ф-ї (або самою ф-ї) якщо існує такий окол цієї точки в лівій частині якого напрям опуклості протилежний до напрямку опуклості в правій його половині.

Т.1. якщо ф-я задана на двічі диференційована на , то коли , ф-я - опукла вниз, якщо , то опукла вгору.

Дов.

Взяли х0, нам потрібно показати, що . . Т.д.

Теор. (Необхідна умова т. перегину) Якщо в деякому околі т. ф-я має другу похідну, яка є неперервною в самій точці і т. є точкою перегину цієї ф-ї то .

Доведення. Доведення від супротивного . . Оскільки неперервна в точці , то окіл цієї точки для всіх т. якого . Тоді в лівому і правому околі т. ф-я опукла вниз і значить т. не є т. перегину, що суперечить умові теореми. .Т.д.

Теор.(достатня умова т. перегину). Якщо в т. друга похідна=0 і при переході через т. друга похідна змінює свій знак з "+" на"-", або з"-" на"+", то т. є т. перегину ф-ї .