13. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційовності. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближенихо бчислень. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y=f(x) задана на інтервалі (a;b), x₀ - фіксована точка інтервалу.

Означення 1. Функція y=f(x) називається диференційована в точці x₀, якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді , де A – фіксоване R число, α(Δx) – н.м.ф. при Δx→0.

Теорема 1. Для того, щоб функція y=f(x) була диференційована в т. x₀ необхідно і досить, щоб в цій т. x₀ функція мала похідну.

Доведення: необхідність. Нехай функція y=f(x) диференційована в т. x₀, тоді її приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де A - число, α(Δx) - н.м.ф.

З існування останньої границі робимо висновок про існування похідної функції f(x) в т. x₀ крім того f′(x₀)=A.

достатність. Нехай існує ,

За теоремою про зв’язок між функцією, її границею та деякою н.м.ф. з останньої рівності можемо записати , α(Δx) – н.м.ф., Δx→0

Звідси, ; A= ;

А це означає, що f(x) диференційована в т. x₀. Т.д.

Зауваження 1. Доведення теореми дозволяє ототожнити поняття диференційованості функції з існуванням в неї похідної.

Зауваження 2. Операцію знаходження похідної в подальшому будемо називати диференціюванням.

Зауваження 3. Функція f(x) називається диференційованою на множині М, якщо вона диференційована в кожні точці цієї множини.

Зауваження 4. Число А, що фігурує в означенні диференційованості функції = , тобто якщо функція диференційована, то її повний приріст подається в такому вигляді .

Теорема 2. Якщо функція y=f(x) диференційована в т. x₀, то вона в цій точці неперервна.

Геометричний зміст поняття диференціала.

О. Головна лінійна частина по приросту ф-ії y=f(x) в т.х називається її диференціалом в цій точці, де . Приріст аргумента називається дифернціалом незалежної змінної і позначається .

Нехай функція y=f(x) диференційована в деякій точці x,тоді як відомо в т. з координатами x, (x;t(x)) буде існувати дотична до графіка функції y=f(x), яка утворює кут α з віссю ОХ , такий, що tgα= .

Т. x надамо приросту Δx і отримаємо т. x+Δx маємо, що ; ; ;

Таким чином y=f(x) диференціал функції в довільній т. x чисельно дорівнює приросту ординати дотичної, який вона отримує при переході з т. x в т. x+Δx. В цьому і полягає геометричний зміст поняття диференціалу.

Наближення обчислень за допомогою диференціала.

Через те, що диференціал – головна частина приросту функції, то ми можемо записати наближену функцію ,

; .

Диференціали вищих порядків.

О. Диференціалом n-го порядку назив. диференціал 1-го порядку від диференціала n-1-го порядку.

.

Доведення

Доводимометодом від супротивного.

1. ;

2. ;

3. 

.

В силу принципа математичної індукції робим висновок, що отримана вище формула для диф. n-го порядку має місце для будь-якого натурального числа n.