8.5. Установление математической формы связи между изучаемыми признаками

Целью данного этапа является нахождение конкретного математического выражения функции:

.

В данном случае наиболее сложной проблемой является выбор формы связи (типа аналитического уравнения – прямолинейная зависимость, криволинейная зависимость и т.д.) выбор типа функции должен опираться на теоретические исследования или же находиться путем последовательного подбора различных типов уравнений.

При выборе уравнений можно использовать некоторые общие приемы: графический анализ, с целью выявления характера зависимости между зависимыми парами переменных; выбор простейших видов функций, а при выявлении их непригодности переход к более сложным уравнениям; выявление наиболее пригодного типа функции путем сравнения оценок тесноты связи и статистической надежности как уравнения в целом так и его отдельных параметров (коэффициентов регрессии).

При парных корреляционных связях наиболее часто используют следующие типы функций:

- уравнение прямой,

- уравнение параболы второго порядка,

- уравнение гиперболы,

- уравнение показателей кривой – экспоненты.

Для аппроксимации фактических данных используют полиномы П.Л. Чебышева: .

Повышение порядка полинома производят до тех пор, пока остаточная дисперсия продолжает уменьшаться. Если при переходе к уравнению регрессии более высокого порядка остаточная дисперсия уменьшается незначительно, то аппроксимацию считают достаточной.

Учитывая, что на практике путем математических преобразований многие функции можно привести к линейному виду, рекомендуется построение уравнений множественной регрессии в линейной форме

.

Сформированная статистическая совокупность и подобранная форма уравнения позволяют перейти к расчету параметров модели. Для расчетов параметров разработаны различные методы, однако практически чаще всего используют метод наименьших квадратов. Суть его в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от исчисленных по выбранному уравнению была наименьшей.

.

При использовании метода наименьших квадратов получают системы «нормальных» уравнений. Например, при использовании в качестве формы связи уравнения прямой после необходимых преобразований получают следующую систему «нормальных» уравнений

.

Для множественной корреляционной зависимости при n-ом количестве факторов ( ) для определения параметров уравнения регрессии также необходимо составить систему «нормальных» уравнений, которая содержит ( ) линейное уравнение с ( ) неизвестными параметрами

Решение системы «нормальных» уравнений при значительном количестве параметров функции представляет некоторые трудности в вычислении. Поэтому, расчеты параметров уравнений модели корреляционной зависимости и других характеристик модели целесообразно производить с использованием ЭВМ.

8.6. Анализ характеристик корреляционной модели

Основными показателями, получаемыми в результате корреляционно-регрессионного анализа, являются коэффициенты регрессии и коэффициенты корреляции.

Анализ экономической интерпретации коэффициентов регрессии (параметров уравнения ) дает основание сформулировать общее определение его смысла. Коэффициент регрессии показывает, к какому изменению средней величины результативного признака приводит изменение факторного признака на одну единицу. Так, если при изучении корреляционной связи между урожайностью (У, ц/га) и дозами вносимых удобрений (Х, ц д.в. на 1 га) получено следующее уравнение регрессии:

,

Судя по уравнению, можно сказать следующее: увеличение внесения удобрений на одну единицу размерности (на 1 центнер) повлечет за собой изменение (в данном случае рост) урожайности на 1,02 ц/га, т.е. на величину коэффициента регрессии .

Таким образом, коэффициенты регрессии выступают в качестве показателей влияния или эффективности факторов.

Насколько правдоподобно коэффициенты регрессии отражают эффективность, отзывчивость факторов, зависит, правильно ли подобрана форма связи и какие факторы включены в модель.

Условный эффект фактора отражает коэффициент парной регрессии, т.е. в нашем примере коэффициент регрессии 1,02 характеризует влияние доз удобрений (чистое влияние) на урожайность и одновременно влияние других факторов, корреляционно связанных с дозами удобрений, и через этот фактор также влияющих на урожайность. Поэтому и считают, что коэффициент парной регрессии отражает условную эффективность фактора.

Чистую эффективность фактора может выражать коэффициент множественной регрессии при условии, что в подобранную модель включены все факторы, влияющие на анализируемый результативный признак. В этом случае влияние всех факторов выявляется в чистом виде, т.к. эффект каждого фактора «очищен» от влияния других, имеющих с ними корреляционную связь, ибо в уравнение включены все факторы.

Однако особенностью агроэкономических явлений является то, что в их формировании принимает участие чрезвычайно много факторов. Включить их все в одну модель практически невозможно. Поэтому различают относительно чистую эффективность коэффициентов множественной регрессии, которые получают в случае, когда в уравнение включены основные факторы, влияющие на результативный признак, и форма связи подобрана правильно. Каждый из коэффициентов такой модели характеризует не только «чистый» эффект фактора, но также и влияние корреляционно связанных с ним факторов, но не вошедших в данное уравнение регрессии. При этом каждый коэффициент регрессии «очищен» от влияния других факторов, входящих в уравнение регрессии. И чем правильнее и полнее выбраны и учтены основные наиболее существенные факторы, тем реальнее коэффициенты регрессии отражают чистую эффективность.

Для измерения тесноты связи между У и факторами, вошедшими в модель используют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции. При линейной форме зависимости, показатели тесноты связи называют коэффициентами, при криволинейной – индексами. Линейные коэффициенты корреляции являются частным случаем индекса корреляции. Значение показателей тесноты связи в том, чтобы отразить, какую часть общей вариации результативного признака У можно объяснить независимым признаком Х, входящим в соответствующее уравнение регрессии. Измерение тесноты связи основано на сопоставлении показателей вариации результативного признака (У). Для этих целей исчисляют общую дисперсию

,

характеризующую общую вариацию результативного признака (У), объясняемую влиянием всех факторов, от которых он зависит.

Факторную дисперсию исчисляют по формуле:

,

которая характеризует вариацию (У), объясняемую только фактором (Х) или факторами ( ), соответственно для парной и множественной корреляции.

В связи с этим для измерения тесноты связи используют отношение факторной дисперсии к общей дисперсии результативного признака. Это отношение называют индексом детерминации

.

Корень квадратный из данного выражения называют индексом корреляции.

.

Подобно тому, как коэффициенты парной и множественной регрессии отражают условную и условно-чистую эффективность факторов, так парные и частные коэффициенты корреляции и детерминации характеризуют тесноту связи между (У) и факторами-аргументами ( ), вошедшими в модель.

Особо важное значение, имеет определение парных коэффициентов корреляции при отборе факторов. Для этого строится матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту линейной связи между результативным признаком (У) и каждым фактором-аргументом (Х), а также между факторами аргументами, т.е. между показателями , , и т.д.

Таблица 15