Тырсин А.Н. Учебное пособие по дискретной математике

107.( A C) ( A B) (B C) .

108.(B C) ( A B) (C B) .

109.(A B B C) (A B C C) .

110.(B C A A) B A C .

111.( A B C A B A B) A.

112.(A B C) ((B A C) (A C) .

113.(A B) A C B A.

114.A (B A C) C (B C A) .

115.C B A B C (B A) .

116.( A B) C) C ( A B C B) .

117.( A B C) C B (A B C) .

118.A B (B C) ( A C B).

119.A B C ( A B) (C B).

120.( A B C ( A B C) A B C .

Раздел III. Элементы комбинаторики

7.Задачи № 121-140

121.В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

122.На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует: а) треугольников с вершинами в этих точках; б) четырехугольников с вершинами в этих точках?

123.Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

124.В классе, в котором учатся Петя и Сережа, 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Сережа не входили в команду одновременно?

125.Сколькими способами можно переставить буквы слова «эпиграф» так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

126.Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более 3 юношей?

81

127.Сколькими способами можно: а) разбить 15 человек на три команды по 5 человек в каждой; б) выбрать из 15 человек две команды по

5человек в каждой?

128.Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы: а) среди них был ровно один туз; б) среди них был хотя бы один туз?

129.Сколько существует 6-значных чисел, у которых по три четных и нечетных цифры?

130.Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна: а) 2; б) 3; в) 4?

131.Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?

132.Поезду, в котором находится k пассажиров, предстоит сделать n остановок. Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? Решить эту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.

133.Сколько имеется 7-значных чисел, в десятичной записи которых

1встречается трижды, а 0 – дважды?

134.Сколько имеется 7-значных чисел, в десятичной записи которых

1встречается дважды, а 0 – трижды?

135.Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и одну грушу?

136.Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара можно разложить в 6 различных ящиков?

137.Общество из n членов выбирает из своего состава одного представителя. Сколькими способами может произойти открытое голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)? Решить эту же задачу, если голосование – тайное, т.е. учитывается лишь число голосов, поданных за каждого кандидата, и не учитывается, кто за кого голосовал персонально.

138.Сколькими способами можно выложить в ряд 5 красных, 5 синих и 5 зеленых шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?

139.Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были представители только двух мастей?

140.Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

8. Задачи № 141-160

Найти коэффициент при xk в разложении многочлена

82

9.Задачи № 161-180

161.Сколько существует целых чисел, не превосходящих 1000, которые: а) делятся одновременно на 6 и на 15; б) делятся на 6 или на 15?

162.Сколько существует целых чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 9, ни на 10, ни на 30?

163.Сколько существует целых чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7, ни на 11?

164.На каждой стороне треугольника ABC отмечено по 9 точек, разбивающих ее на 10 равных частей. Рассмотрим всевозможные треугольники с вершинами в отмеченных точках (по одной на каждой стороне). Сколько среди этих треугольников таких, у которых ни одна из сторон не параллельна сторонам треугольника ABC?

165.Во сколько натуральных чисел, не превосходящих 1000, входит цифра 9? Во сколько чисел она входит дважды?

166.Во сколько целых чисел от 0 до 1000 входит цифра 0? Во сколько чисел она входит дважды?

167.Во сколько целых чисел от 0 до 1000 входит цифра 8? Во сколько чисел она входит дважды?

168.Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр которых

четна?

169.«Ранним утром улыбающийся Игорь мчался босиком на рыбалку». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядок их следования?

170.«Четыре усталых молчаливых путника долго пережидали внезапно разразившуюся грозу». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядок их следования?

83

171.«Ранним утром улыбающийся Игорь мчался босиком на рыбалку». Из этого предложения будем вычеркивать одно за другим слова так, чтобы всякий раз получалось осмысленное предложение. Каким числом способов можно прийти к предложению, из которого уже нельзя вычеркнуть ни одного слова?

172.«Четыре усталых молчаливых путника долго пережидали внезапно разразившуюся грозу». Из этого предложения будем вычеркивать одно за другим слова так, чтобы всякий раз получалось осмысленное предложение. Каким числом способов можно прийти к предложению, из которого уже нельзя вычеркнуть ни одного слова?

173.Сколькими способами можно построить в одну шеренгу 22 игрока двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

174.На каждой стороне треугольника ABC отмечено по 7 точек, разбивающих ее на 8 равных частей. Рассмотрим всевозможные треугольники с вершинами в отмеченных точках (по одной на каждой стороне). Сколько среди этих треугольников таких, у которых ни одна из сторон не параллельна сторонам треугольника ABC?

175.Лифт, в котором находится 9 пассажиров, может останавливаться на 10 этажах. Пассажиры выходят группами в 2, 3 и 4 человека. Сколькими способами это может произойти?

176.Сколько существует 8-значных чисел, сумма цифр которых

нечетна?

177.Сколько существует 5-значных чисел, в десятичной записи которых есть одинаковые цифры?

178.Сколько существует четных 5-значных чисел, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр?

179.Сколько целых чисел от 0 до 1000000 содержат каждую из цифр 1, 2, 3? Сколько чисел состоит только из этих цифр?

180.Сколько существует 7-значных чисел, сумма цифр которых

четна?

Раздел IV. Введение в теорию графов

10. Задачи № 181-200

Для заданного графа:

1)Построить матрицы инцидентности и смежности;

2)Найти диаметр, центры, диаметральные и радиальные цепи графа (граф считать неориентированным);

3)Построить матрицу достижимостей;

4)Найти число внутренней устойчивости;

5)Найти число внешней устойчивости.

84

85

86

Список литературы

1.Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2.Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы и статистика, 2006.

3.Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. – 2-е изд., испр. и доп. – СПб.: Лань, 2010.

4.Важенин Ю.М., Попов В.Ю. Множества, логика, алгоритмы в задачах. – Екатеринбург: УрГУ, 1997.

5.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977.

6.Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа,

1986.

7.Емеличев В.А. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990.

8.Калужнин Л.А., Сушанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.:

Наука, 1985.

9.Капитонова Ю.В., Кривой С.Л., Летичевский А.А., Луцкий Г.М. Лекции по дискретной математике. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

10.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – пер. с англ. – М.: Мир, 1978.

11.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1989.

12.Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Мир, 1992.

13.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – 5-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

14.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1976.

15.Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях. – М.: Логос, 2004.

16.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – 3-е изд. – СПб.: Питер, 2009.

17.Соболева Т.С., Чечкин А.В. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2006.

18.Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008.

19.Харари Ф. Теория графов: пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Едиториал УРСС,

2003.

20.Эвнин А.Ю. Дискретная математика. Конспект лекций. – Челябинск:

ЮУрГУ, 1998.

21.Эвнин А.Ю. Задачник по дискретной математике. – Челябинск:

ЮУрГУ, 1998.

87

88

89