Тырсин А.Н. Учебное пособие по дискретной математике

комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Основными моделями являются следующие.

1. Дано m предметов. Их нужно разместить по n ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения. Сколькими способами это можно

существует функций F, удовлетворяющих заданным ограничениям?

6.2. Размещения

Определение 6.1. Размещением из n элементов по m называется упорядоченная m-выборка из n-элементной генеральной совокупности.

Пример 6.1. Пусть n = 3, m = 2. Обозначим элементы исходного 3- элементного множества {a, b, c}. Выпишем всевозможные размещения без повторений из 3 по 2: (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b).

В случае размещений с повторениями к указанному списку добавятся еще три размещения: (а, а), (b, b), (c, c).

Число размещений из n по m без повторений обозначают Anm , а с повторениями U nm .

Теорема 6.1. Unm nm .

Доказательство. Вытекает из правила произведения. Действительно, каждый из m предметов можно разместить n способами. Тогда по правилу

произведения: U m n n ... n nm . n

Доказательство. Ящик для первого предмета можно выбрать n способами, для второго – (n–1) способами, …, для m-го предмета – (n–m+1) способами. Тогда по правилу произведения:

41

Пример 6.2. Бросают две кости и выпавшие на верхних гранях очки складываются. Какова вероятность выбросить 12 очков?

Решение. Каждый возможный исход соответствует функции:

F :{1, 2} {1, 2, 3, 4, 5, 6},

где аргумент – номер кости, результат – очки на верхней грани.

Всего возможно U62 62 36 различных исходов. Из них только один (6 + 6) дает двенадцать очков. Искомая вероятность равна 1/36.

Пример 6.3. В некоторых видах спортивных соревнований исходом является определение участников, занявших 1-е, 2-е и 3-е места. Сколько возможно различных исходов, если в соревновании участвуют n участников?

Решение. Каждый возможный исход соответствует функции:

F :{1, 2, 3} {1, 2, ... , n},

где аргумент – номер призового места, результат – номер участника.

6.3. Перестановки

Определение 6.2. Пусть имеется n различных элементов. Перестановкой n элементов называется их расположение на n различных местах. В данном случае имеем перестановку без повторений. Число перестановок n элементов без повторений обозначается P(n).

Определение 6.3. Перестановками с повторениями называют упорядоченные выборки, в которых каждый элемент встречается фиксированное (свое для каждого элемента) число раз.

Теорема 6.4. Пусть А = {а1, … , ak} – генеральная совокупность. Число перестановок с повторениями, в которых элемент а1 встречается n1 раз, элемент а2 встречается n2 раз, … , элемент ak встречается nk раз, обозначим P(n1, n2, … , nk). Если общее число элементов в каждой выборке указанного

Примем без доказательства.

42

Пример 6.4. Сколько различных комбинаций букв можно получить, переставляя буквы слова «колокольчик»?

Решение. В слове «колокольчик» 11 букв, буквы «к» и «о» встречаются по три раза, буква «л» дважды, остальные по одному разу.

6.4. Сочетания

Определение 6.4. Сочетанием из n по m называют неупорядоченную m-выборку из n-элементной генеральной совокупности.

Определение 6.5. Числом сочетаний из n по m без повторений Cnm

называется число размещений m неразличимых предметов по n ящикам (не более чем по одному в ящик).

Доказательство. Всякое размещение из n по m можно получить с помощью двух действий: 1) выбор элементов, входящих в размещение, то есть выбор сочетания из n по m.; 2) перестановка выбранных элементов. По правилу произведения получаем

Определение 6.6. Число размещений m неразличимых предметов по n

ящикам называется числом сочетаний из n по m с повторениями и

обозначается Vnm .

Примем без доказательства.

Пример 6.5. Пусть n = 3, m = 2. Обозначим элементы исходного множества {а, b, c}. Выпишем всевозможные сочетания из 3 по 2 без повторений: (а, b), (a, c), (b, c). В случае сочетаний с повторениями к указанному списку добавляется еще 3 сочетания: (a, a), (b, b), (c, c).

Пример 6.6. Каким числом способов можно разместить n одинаковых шаров по k различным урнам?

43

Решение. Присвоим урнам номера от 1 до k. Будем считать, что, помещая шар в урну, мы присваиваем ему номер этой урны. Тогда размещение шаров по урнам сводится к построению последовательности, в которой n элементов и каждый из них принимает одно из k значений.

Пример 6.7. Найти число решений уравнения x1 x2 xk n в

неотрицательных целых числах.

Решение. Данная задача сводится к числу распределений одинаковых шаров по различным урнам, если считать: xi – количество шаров, помещаемых в i-ю урну; n – общее число шаров; k – общее число урн.

Таким образом, ответ Vkn .

Пример 6.8. Найти число решений уравнения: x1 x2 xk n в натуральных числах.

Решение. Введем новые переменные: xi = yi + 1, i = 1, 2, , k. Относительно новых переменных yi, получим рассмотренное в предыдущем примере уравнение уже в неотрицательных целых числах

y1 y2 yk n k, число решений которого Vkn k .

Глава 7. Комбинаторные тождества

7.1. Полиномиальная формула

Теорема 6.7. Для любых натуральных чисел n и k и любых чисел x1, x2, , xk справедливо равенство

неотрицательных целых числах (3, 0, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1), а также тройки чисел, получающиеся из указанных перестановками элементов. Таким

44

образом, в формуле три различных полиномиальных коэффициента:

P(3, 0, 0) = 1, P(2, 1, 0) = 3, P(1, 1, 1) = 6. Искомая формула имеет вид:

(x y z)3 x3 y3 z3 3(x2 y x2 z y2 x y2 z z2 x z2 y) 6xyz .

7.2. Комбинаторные тождества

Теорема 7.1. Имеют место следующие тождества:

1)Cnk Cnn k ;

2)Cnk 11 Cnk 1 Cnk ;

n

3) Cnk 2n ;

k0 n

4)( 1)k Cnk 0 ;

k0 n

5)( 1)k 1Cnk 1;

k1

k

6) Тождество Коши Cnk m Cnj Cmk j , (m k, n k ) ;

j 0

n

7) C2nn (Cnk )2 ;

k0

8)kCnk nCnk 11;

9)Cnk Ckm CnmCnk mm ;

45

12. Решим задачу: каким числом способов можно из n кандидатов выбрать m депутатов и среди депутатов некоторых (может быть всех, а может быть никого) наградить?

C одной стороны, депутаты выбираются Cnm способами (столько подмножеств имеет множество из m элементов), и значит, ответ к задаче: Cnm 2m . С другой стороны, если число награждаемых депутатов равно k

15. Рассмотрим последовательность чисел 1, 2, … , n. Сначала все подмножества длины 0, потом все подмножества длины 1 и т.д. Имеется

Cnm подмножеств мощности n, и каждое из них имеет длины m, таким образом, всего в последовательности nm 0 mCnm чисел.

С другой стороны, каждое число m входит в эту последовательность 2 {1,2,...,n}\{m} 2n 1 раз, а всего чисел n. Таким образом, nm 0 mCnm 2n 1 .

Глава 8. Разбиения. Методы сведения одних комбинаторных конфигураций к другим

8.1. Разбиения

Пусть B={B1, B2, … , Bm} есть разбиение множества Х из n элементов

m

на m подмножеств: Bi X , Bi X , Bi , Bi Bj при i j .

i 1

47

Определение 8.3. Число всех разбиений n-элементного множества называется числом Белла и обозначается B(n). Оно определяется как

n

B(n) S (n, m) , B(0) 1.

m 0

n

Теорема 8.2. B(n 1) Cni B(i).

i 0

Примем без доказательства.

8.2. Принцип включения и исключения

Рассмотренные выше формулы дают способы вычисления комбинаторных чисел для типовых распространенных комбинаторных конфигураций. Практические задачи не всегда непосредственно сводятся к известным комбинаторным конфигурациям. В этих случаях используются различные методы сведения одних комбинаторных конфигураций к другим. Наиболее часто используются три метода:

-принцип включения и исключения;

-метод преобразования комбинаторных конфигураций с помощью формулы обращения;

-метод производящих функций.

Рассмотрим далее принцип включения и исключения и метод производящих функций.

Часто комбинаторная конфигурация является объединением других, число комбинаций в которых вычислить проще. При этом требуется уметь вычислять число комбинаций в объединении. В простых случаях объединения двух и трех множеств формулы для вычисления очевидны:

A B A B A B ,

A B C A B C A B A C B C A B C .

Пример 8.1. Сколько существует натуральных чисел меньше 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Решение. Всего натуральных чисел меньше тысячи 999. Из них:

-999 : 3 = 333 делятся на 3;

-999 : 5 = 199 делятся на 5;

-999 : 7 = 142 делятся на 7;

-999 : (3 · 5) = 66 делятся на 3 и на 5;

-999 : (3 · 7) = 47 делятся на 3 и на 7;

-999 : (5 · 7) = 28 делятся на 5 и на 7;

-999 : (3 · 5 · 7) = 9 делятся на 3, на 5, и на 7.

Имеем: 999 – (333 + 199 + 142 66 47 28 + 9) = 457.

49

Следующая формула, называемая принципом включения и исключения, позволяет вычислить мощность объединения множеств, если известны их мощности и мощности всех пересечений.

Теорема 8.3. Пусть A1, A2, ... , An – конечные множества. Тогда

Доказательство. Возьмем произвольный элемент из объединения данных n множеств и подсчитаем его «вклад» в правую часть доказываемой формулы. Пусть элемент входит ровно в m множеств Аi

Cm2 раз (в стольких попарных пересечениях m множеств он содержится), в

n

Подставив вместо Ai формулу (8.1), получим выражение (8.2).

i 1

8.3.Обобщение формулы включения и исключения

Пусть A – некоторое множество, A1, A2, ... , An – его подмножества. Определим функцию (n) следующими соотношениями:

Пусть N(r) число элементов множества A, которые принадлежат ровно r различным множествам Ai (если r = 0, то – ни одному). С помощью введенных функций формула включения и исключения примет вид:

N (0) (0) (1) (2) ( 1)n (n) .

50