2.4.3. Cистемы фм сигналов

Ранее отмечалось, что для помехозащищенных ШСС требуется большой объем L (1.5) нормальных и больших систем ШПС ФМ сигналов.

К такому объему можно приблизиться, реализуя системы сигналов на основе, например, систем Уолша или производные системы [1] ФМ сигналов на основе М-последовательностей.

Система сигналов Уолша. Многие системы ФМ сигналов образованы на базе систем сигналов Уолша, построенных на основе матрицы Адамара

, (2.43)

где H_N - матрица Адамара порядка N, а H_2N - порядка 2N.

Полагая H₁=1 из (2.43) можно получить матрицы порядка 2

или 4,8…2^т, где т-целое число. Например, порядка 8

В качестве КП системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число этих КП (объём системы) равно порядку матрицы N.

Обозначим j-ю кодовую последовательность Уолша как {W_j}, а её п-ый символ через W_j(п). На основании уравнения ортогональности матриц Адамара , где в обычном произведении матриц Т - знак транспонирования, а I- единичная матрица, можно записать уравнение ортогональности ПСП Уолша

. (2.44)

На рис.2.10 приведены ПСП системы Уолша согласно матрице Н₈, которые упорядочены по числу блоков μ в последовательности.

Рис.2.10. Система сигналов Уолша.

Отметим, что число блоков μ в различных последовательностях изменяется от 1 до N, и плохо согласуется с блоковой структурой кода СП (2.23), (2.27). Поэтому система сигналов Уолша обладает плохими корреляционными свойствами, т.е. АКФ и ВКФ имеют большие боковые пики.

При этом спектр (2.6) кодовой ПСП Уолша с μ=1 имеет максимум (рис.2.1) при ω = 0, а с μ = N имеет максимум при ω = π/τ₀ и оба максимума равны N. Соответственно максимум СПМ равен N². У остальных ПСП максимумы лежат между ω = 0 и ω = π/τ₀.

На базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов.

Производным сигналом называют сигнал, образованный посимвольным произведением двух или более исходного и производящего сигналов, которые могут быть узкополосными и широкополосными.

К таким системам можно отнести:

-сегментные cистемы, реализуемые путем выделения перекрывающихся или не перекрывающихся сегментов (отрезков) из ПСП на основе М-последовательности большой длины N;

-циклические системы Голда, Касами.

Выбор производящего сигнала зависит от исходного сигнала. Если исходный сигнал U широкополосный, то производящий V тоже широкополосный с малыми уровнями боковых пиков ФН. Если исходный сигнал узкополосный, то для производящего сигнала достаточно многократное превышение полосы исходного сигнала и малый уровень боковых пиков АКФ.

Производные сегментные системы сигналов. Обозначим комплексную огибающую исходной М-последовательности U(t)=1, где

0 ≤ t ≤T, а огибающую (1.13) производящего сигнала V(t)=1, 0 ≤ t ≤ T₀, где

T₀ < T. В этом случае выделение сегмента из ПСП эквивалентно применению узкополосного производящего сигнала с прямоугольной огибающей и длительностью, равной длительности сегмента T₀.

Производный сигнал

S_p(t)=U(t+t_p)∙V(t) (2.45)

называют р-м сегментом, расположенным на отрезке [0,T₀], который вырезается из исходного сигнала (ПСП) на отрезке [t_p, t_p+T₀]. Последовательность сегментов образует систему сигналов

с объемом системы при примыкающих сегментах и длительностью сегмента .

ВКФ сегментов и максимальные боковые пики ВКФ сегментов равны:

:

. (2.46)

При проектировании системы сигналов задается эффективное значение ВКФ При заданном Q и известном, например, N ПСП из (2.46) определяют длительность сегмента и объем системы .

Производный сигнал может формироваться и при перекрывающихся сегментах.

Производные циклические системы сигналов. Пусть для циклических систем даны две кодовые ПСП {А(ν)}, {В(ν)}, где ν- номер символа в ПСП, а символы А(ν), В(ν) принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной р-ичной группе.

Если р >2, то будем называть сигнал многофазным. Этим ПСП можно поставить в однозначное соответствие цифровые кодовые ПСП {а(ν)}, {b(ν)},символы которых а(ν), b(ν) принадлежат аддитивным р-ичным группам.

При р =2 символами ПСП {А(ν)}, {В(ν)} являются 1 и -1, а символами цифровых ПСП являются 0 и 1.

Формирование КФ сводится к перемножению символов А(ν) и В*(ν) с последующим суммированием, где *-знак комплексной сопряженности.

При переходе к символам а(ν), b(ν) КФ определяется через разности этих символов по mod p на основе сравнения (Примечание стр.22)

, т.е. . (2.47)

Для циклических систем ФМ сигналов ПСП {а(ν)}, {b(ν)} должны обладать следующим циклическим свойством: разность по mod p ПСП {а(ν)} и её циклической перестановкой {а(ν+μ)} является другой циклической перестановкой {а(ν+λ)} исходной ПСП, т.е.

{а(ν)} - {а(ν+μ)}= {а(ν+λ)}, (2.48)

где λ≠0 и λ≠μ(mod p).

Аналогично:

{ b(ν)}- {b(ν+μ)}= {b(ν+λ)}.

Равенства (2.48) выполняются для М-последовательностей согласно их аддитивно-циклическим свойствам.

Циклические перестановки получаются так: исходная ПСП {а(ν)} записывается в виде периодической бесконечной ПСП:

…a(N-2),a(N-1), a(0), a(1),…a(ν),… a(μ),… a(N-2), a(N-1), a(0), a(1), a(μ), ..

Т.е. она начинается с символа a(0) и заканчивается символом a(N-1) . Циклическая перестановка {а(ν+μ)} начинается с символа a(μ) при ν=0 и заканчивается при ν = N-1символом a(μ +N-1).

Циклическая система сигналов состоит из последовательностей {С_j(ν)}, символы которых определяются равенством

C_j(ν)=a(ν)-b(ν+j), (2.49)

где

Каждая ПСП циклической системы равна разности между ПСП {а(ν)} и ПСП циклической перестановки {b(ν+j)}, т.е.

{C_j(ν)}={a(ν)-b(ν+j)} (2.50)

Такие циклические системы являются производными, где система последовательностей {b(ν+j)} является исходной, а ПСП

{а(ν)}- производящей.

Известно, что ВКФ сигналов циклической системы определяются периодическими ВКФ, ВФН образующих последовательностей. Поэтому для построения циклической системы минимаксных сигналов (R_max→min) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов имели малые боковые пики (R_max(λ)→min). Общего метода построений таких сигналов нет.

Циклические системы Голда. По методу Голда образующим двоичным (p=2) М-последовательностям длины N=2ⁿ-1 должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются α^-ν для первой и (α^2l+1)^-ν для второй последовательностей, где l -любое целое число, взаимно-простое с п.

Примитивным называют неприводимый (не может быть представлен в виде произведения) многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля Галуа GF(2ⁿ).

Корень α называется примитивным, если все его степени (α⁰, α¹ ,..α^N= α₀) дают различные элементы поля.

Такие образующие ПСП выбираются по известным [1] таблицам неприводимых многочленов и периодические нормированные ВКФ ПСП циклической системы сигналов являются случайными уровнями с

максимальными боковыми пиками

R_max (λ ) ≤ 1,4/ , (2.51)

что меньше в 2 раза, чем для полного кода (3/ ).

Пример. Полагая обозначения n=k эквивалентными, возьмем [2] в качестве образующих М-последовательностей пару при k=5 предпочтительных ПСП длины N=2^k-1=31, которым соответствуют полиномы 101001 и 111011(см. раздел 2.4.1):

f₁(x) =а₀x⁵+а₃x²+1

f₂(x) = а₀x⁵+а₁x⁴+ а₃x²+ а₄x+1. (2.50')

Эти ПСП имеют трехуровневую периодическую ВКФ {-1, -t(k), t(k) -2}, где уровень t(k) определен (2.32').

Из этой пары ПСП {a(ν)} и {b(ν)} образуем согласно (2.50) ансамбль

последовательностей {C_j(ν)}, длины N каждая, взяв для каждого циклического сдвига j посимвольную сумму по mod2 символов последовательности {a(ν)} и символов циклически сдвинутой на j версии ПСП {b(ν+j)} или наоборот. Таким образом, получим N новых периодических последовательностей с периодом N=2^k-1.

Если включить в этот ансамбль и исходные ПСП {a(ν)} и {b(ν)}, то получим ансамбль из (N+2)=33 ПСП. Эти ПСП называют последовательностями Голда, из которых 31 ПСП не является последовательностями максимальной длины. Схема реализации генератора предпочтительных М-последовательностей, которым соответствуют примитивные многочлены (2.50'), и генератора ПСП Голда представлена на рис.2.10'.

Рис.2.10'. Схема реализации генератора предпочтительных

М-последовательностей (2.50') и соответсвующих ПСП Голда

АКФ ансамбля из 31 ПСП Голда не являются в отличие от М-последо-вательностей двоичными. Голд показал, что значения ВКФ любой пары ПСП ансамбля (N+2) последовательностей Голда и пиковые значения не нормированной АКФ R_max являются троичными с возможными значениями {-1,-t(k), t_k-2}, где уровень t(k) определен (2.32').

Циклические последовательности Касами образуются аналогичными процедурами согласно (2.50), где, если ввести задержку D(j), то можно записать в виде:

{C_j(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)}, (2.52)

где символ - посимвольное умножение последовательностей {А(ν)} и {D(j)B(ν)}, а произведение D(j)B(ν) является символом B(ν), сдвинутым на j тактов. Число всех ПСП равно N+2 (N сдвигов плюс две исходных ПСП).

Для малой системы Касами с ансамблем

предложено брать исходные М - последовательности: {А(ν)} с периодом , а { B(ν)} с периодом и .

Рассмотрим в качестве примера процедуру генерации [2] ансамбля ПСП Касами из L=2^k/2 двоичных ПСП периода N=2^k-1, когда k–четно.

В этой процедуре начинаем с М-последовательности {a} и формируем двоичную последовательность {b}, взяв каждый (2^k/2+1) символ из {a}, т.е. последовательность {b} формируется путем децимации (прореживания) {a} через (2^k/2+1) символ. Полученная последовательность {b} периодическая с периодом (2^k/2+1), например, при k =10 период ПСП {a} равен N=2^k-1=1023, а период {b} равен (2^k-1)=31. Следовательно, если мы будем наблюдать 1023 символа последовательности {b}, то увидим 33 повторения 31 символьных последовательностей.

Теперь, взяв N=2^k-1 символа из ПСП {a} и {b}, мы формируем новый ансамбль ПСП путем суммирования по mod2 символов из {a} и символов {b} и всех (2^k/2-2)=30 циклических сдвигов символов из {b}.

Включая ПСП {a} в ансамбль, мы получим ансамбль объемом из L=2^k/2 (1 ПСП {a}+1 ПСП{b}+30 ПСП{b} циклической перестановки) двоичных ПСП длины N=2^k-1 каждая, которые называются последовательностями Касами.

АКФ и ВКФ (не нормированные) этих ПСП имеют значения из ряда: {-1,-(2^k/2 +1), 2^k/2 -1}, а максимальное значение ВКФ для любой пары ПСП этого ансамбля равно . Эта величина удовлетворяет нижней границе , найденной Уолшем для любой пары двоичных ПСП периода N=2^k-1 в ансамбле М - последовательностей. Следовательно, малые ПСП Касами длины N=2^k-1 из ансамбля L=2^k/2 оптимальны.

Большая система Касами получается при произвольном перемножении двух исходных М–последовательностей с периодом , образующих циклическую систему (2.52), на М–последовательность с периодом , где п - четно. Символически этот алгоритм можно записать в виде:

{K_ij(ν)}={А(ν)} {D(j)B(ν)} {D(i)∙ C(ν)}, (2.53)

где {А(ν)}, {B(ν)} - ПСП периода N, а {С(ν)} - ПСП периода N₁; D(j), D(i) – символы сдвига, , .

При значении степени характеристического полинома исходных ПСП объем большой системы Кассами: ,

а при соответственно

При больших п объем большой системы Касами т.е. в раз больше объема нормальной системы. Максимальные пики нормированной ВКФ малой и больших систем Касами удовлетворяют соотношению , которое в 2 раза превышает эффективную оценку (2.14), полученную из условия ограниченности объема тела ВФН и в раз эффективную оценку (2.22) для СП.

Большие производно-циклические системы можно построить на посимвольном перемножении производящей последовательности {V} на последовательность Уолша {W_m} и на циклическую последовательность Голда {G_n} или вместо системы Голда можно использовать большую систему Касами {K_n} (2.53). В этом случае j-я ПСП определяется следующим образом:

{A_j}={V} {W_m} {G_n}

{A_j}={V} {W_m} {K_n}. (2.54)

Поскольку , то , т.е. объем системы сигналов для первой системы равен . Так как объем системы {K_n} равен то и объем второй системы равен . Однако характеристики ВКФ этих систем (2.54) неизвестны.

Известно, что среднее значение объема больших систем сигналов определяется нижней границей, которая, при допустимом уровне R₀<<1 (максимума модуля нормированной ВКФ), равна:

(2.55)

т.е. растет экспоненциально от .

Однако, реальная оценка объема больших систем сигналов равна

, (2.56)

где A-const, зависящая от N и α,; α-const, зависящая от N и допустимого уровня R₀, например: для L=N → α=2; а для L=N² → α=3 и т. д.

Кроме того, для лучших больших систем ФМ сигналов известны верхняя и нижняя оценки максимальных пиков нормированных КФ (2.57)

Таким образом, циклические системы Голда и Кассами позволяют строить нормальные и большие системы ФМ сигналов.

Однако, линейные рекуррентные ПСП (М-последовательности, последовательности Голда, Кассами) не обеспечивают помехозащищенность (структурную скрытность) систем связи с ШПС.

Известно [2,5,6], что постановщику помех достаточно произвести посимвольный прием 2∙k символов М-последовательности, следующих друг за другом, чтобы раскрыть закон её формирования и перехватить

информацию или сформировать имитирующую помеху подавления ШСС.