2.3.Структурные свойства случайных последовательностей

Свойства различных типов ФМ ШПС, формируемых на основе ПСП, рассматривают относительно следующих свойств случайных последовательностей (СП) [1,4]:

1. Сбалансированности кода (число «1» и «0» в коде должно отличатся не более, чем на один символ);

2. Свойства корреляции кода (результат суммирования по модулю 2 кода с его циклическим сдвигом дает также сбалансированный код);

3. Значения КФ (АКФ и ВКФ) апериодической СП длины N являются случайной величиной (СВ) с распределением, аппроксимируемым нормальным законом (т.к. СП является подмножеством полного кода)

(2.22)

с нулевым средним m_R = 0 и дисперсией .

Примечание: Полный код-это система сигналов, состоящая из всех сигналов данного класса при заданном алфавите p символов и числе N символов в сигнале, и содержит КП.

С ростом N дисперсия боковых пиков АКФ уменьшается как а максимальные пики R_max при заданной вероятности уменьшаются по закону т.е. с ростом N АКФ СП стремится к предельной (идеальной) в виде δ - функции;

4. Блоковой структуры кода. Для СП из N символов с идеальной АКФ среднее число блоков (блок - число символов одного знака) равно:

для нечетных N; (2.23)

для четных.

Т.к. распределение числа блоков описывается биномиальным законом, то (2.23) является также наиболее вероятным значением этого распределения.

Для реализации СП длины N ,состоящей из М блоков, имеют место два равенства:

, , (2.24), (2.24^´)

где Λ_k -число блоков одинаковой длины k является СВ.

Среднее значение (2.24^´) по ансамблю реализаций длины N равно

. (2.25)

При этом для равновероятных положительных и отрицательных символов

СП вероятность появления в СП блока длиной k удовлетворяет закону

. (2.26)

Тогда для СП с М₀ блоками среднее по ансамблю значение - равно

(2.27)

Таким образом, для типичной (средней) СП число символов N должно соответствовать равенству (2.24), общее число блоков – равенству (2.25), а число блоков длины k равенству (2.27) и закону (2.26).

5. Число типичных СП, удовлетворяющих (2.26), определяется законом

(2.28)

Например, при N=16 получим: М₀=8; совместным решением уравнений (2.27) и (2.24) получим → , , , а число типичных СП что составляет ≈ 1/80 часть от общего числа СП «полного кода» длины N=16 (2¹⁶ ≈ 6.4∙10⁴).

Статистические характеристики КФ (АКФ и ВКФ) типичных СП, как наиболее вероятных, будут лучше, чем для СП полного кода.

Рассмотрим далее методы формирования и свойства различных ПСП относительно свойств СП.

2.4. Свойства псевдослучайных последовательностей

Известно множество ПСП, обладающих различными свойствами, наиболее известные из которых представлены в табл.2.2.

Таблица 2.2

кодовые ПСП
линейные	нелинейные
1. КП Баркера. 2. М-последовательности, последовательности Голда, Кассами на основе регистра сдвига (РС) с линейной обратной связью (РСЛОС). 3. Последовательности Лежандра, Якоби. 4. Дополнительные последовательности. 5. Последовательности максимальной вероятности. 6. Многофазные сигналы. 7. Амплитудно-фазоманипулированные (АФМ) сигналы.	1.На основе РС с нелинейной обратной связью (РСНОС) [5] (последовательности де Брейна). 2. На основе нелинейной внешней логики комбинирования символов с выходов РСЛОС. 3. Составные, формируемые путем чередования по определенному правилу символов с выхода двух и более РСЛОС. 4. На основе широкополосных хаотических сигналов (ШХС), формируемых системами с динамическим хаосом [4].

Известные КП Баркера имеют максимальное значение длины N=13, что ограничивает их применение в асинхронных адресных системах связи (ААСС) с кодовым разделением абонентов. Более перспективны для ААСС рассматриваемые ниже М-последовательности на основе РСЛОС.

2.4.1. М – последовательности. Основные свойства и методы формирования

Среди ФМ сигналов особое место по применению занимают сигналы, кодовые последовательности которых являются ПСП максимальной длины или М – последовательностями.

М – последовательности обладают следующими свойствами:

1. ПСП является периодической с периодом из N импульсов.

2. Величина боковых пиков периодической АКФ ПСП равна .

3. М – последовательность в общем случае состоит из нескольких видов радиоимпульсов (отличающихся начальными фазами, несущими частотами и т.д.). Импульсы различного вида встречаются в периоде примерно одинаковое число раз, т.е. распределены на периоде равновероятно и удовлетворяют условию сбалансированности. Поэтому М – последовательности называют псевдослучайными.

4. Формируются М – последовательности на основе РСЛОС. При этом, если регистр имеет k – разрядов (дискретных элементов задержки) и в М – последовательности используется алфавит из p различных видов импульсов (отличающихся, например, фазами), то

, (2.29)

откуда число разрядов регистра

. (2.30)

Следовательно, значительное увеличение числа импульсов N в периоде М – последовательности вызывает незначительное увеличение числа разрядов регистра, причем нулевая последовательность является запрещенной.

5. АКФ усеченной М – последовательности, понимаемой как непериодическая последовательность с длиной N, имеет величину боковых пиков, близкую к .

Рассмотрим принцип формирования и свойства М –последовательностей. Пусть при р = 2 РСЛОС рис.2.4 состоит из трех ячеек триггеров с функциями дискретных элементов задержки и сумматора.

Рис.2.4. Генератор М–последовательности с периодом N=7.

На триггеры поступают тактовые импульсы сдвига с частотой , каждый из которых вызывает изменение состояния всех триггеров. При этом состояние на выходе каждого триггера становится равным состоянию на его входе для предыдущего такта. Символы состояния принимают два значения, которые условно обозначим 1 и 0.

Правило суммирования символов в двоичной системе счисления – это суммирование по модулю 2 (mod 2).

Пусть в исходном состоянии символ на выходе T₁ равен 1, а на T₂ и T₃ – 0. Т.е. исходное состояние сдвигающего регистра характеризуется комбинацией выходных символов – 100. На входе T₁ символ 0, т.к. символ на выходе сумматора равен . С поступлением очередного тактового сдвигающего импульса символы с входов триггеров переходят на их выходы. Новое состояние регистра описывается комбинацией – 010. На входе T₁ появляется 1 с выхода сумматора. Аналогично определяются и другие состояния регистра. Состояния регистра различны для тактов 1-7, а для последующих тактов они повторяются. Т.к. число разрядов регистра k=3, то число возможных состояний регистра . Нулевая комбинация 000 является запрещенной, т.к. она приводит к обращению в нуль всех символов во всех комбинациях. Поэтому период ПСП (2.29) равен = 7. Если символы непрерывно считывать с входа T₁, то получим периодическую последовательность c периодом N = 7: .

Если считывать последовательности с других триггеров, то получим последовательности, сдвинутые по времени относительно ПСП с входа T₁.

Изменение исходного состояния регистра приводит лишь к сдвигу последовательности во времени.

Число единиц , число нулей , в периоде ПСП удовлетворяет условию сбалансированности. В общем случае при p=2 число единиц в последовательности , а число нулей .

Сумма двух М – последовательностей, сдвинутых относительно друг друга, является М – последовательностью, т.е. удовлетворяет свойству корреляции кода.

Фазоманипулированный действительный сигнал ПСП огибающей (1.15) U(t) рис.1.6 формируется с помощью М – последовательности на основании следующих известных соотношений.

Согласно таблице 2.1 каждому символу 0,1 ЦКП b_n М – последовательности ставится в соответствие радиоимпульс со своей начальной фазой (т.е. видеоимпульс огибающей КП с амплитудой ):

, (2.31)

откуда умножению символов a_n (1 и –1) соответствует согласно (2.31) таблица сложения b_n (0 и 1) по модулю 2, т.е.

. (2.32)

Эти соотношения позволяют также легко вычислить, например, АКФ (2.19) периодического ШПС

Если сдвиг равен для любого l=0,1,…, то сумма двух М – последовательностей является М – последовательностью, для которой число единиц больше числа нулей на единицу. Поэтому сумма всех ЦКП при будет равна единице и в выражении для АКФ сумма произведений КП согласно(2.32) и (2.31) равна соответственно минус 1, а нормированная АКФ будет равна (- .)

При для любого l=0,1,… временной сдвиг между последовательностями равен нулю, т.е. и значение периодической АКФ равно .

На рис.2.5. представлена периодическая М – последовательность и ее периодическая АКФ, которая при увеличении N приближается к идеальной с уровнем боковых пиков = (−1/N) → 0.

U(t)

1

t

-1 Т 2Т

1

0. 0

Рис.2.5. АКФ периодической М – последовательности с N=15.

Вместе с тем, с точки зрения параметрической скрытности структуры генератора ПСП необходимо также увеличивать период N ПСП. Однако, это требование неэффективно. Известно [2,5,6], что постановщику помех достаточно принять 2k символов М – последовательности, чтобы определить структуру генератора. Поэтому применяют нелинейные ПСП, смену ПСП.

В некоторых приложениях, например, в системах СDМА каждому абоненту присваивается индивидуальная ПСП и ансамбль ПСП должен быть большим. В идеальном случае ПСП абонентов должны быть взаимно ортогональны, т.е. периодическая ВКФ (2.18) равна R_jk (µ) = 0. Однако, число М – последовательностей ограничено, а ВКФ между парами ансамбля реальных М – последовательностей имеет относительно большие амплитуды пиков R_{jk max} (µ). Только отдельные пары ПСП [2] длиной имеют меньшие пики ВКФ с тремя уровнями {-1, -t(k), t(k) -2}, где

(2.32')

Такие М – последовательности называют ПСП Голда, Касами или предпочтительными последовательностями. Например, при k=5 общее число ПСП равно 7, R_{jk max} (µ) =11, R_{jk max} (µ)/ R(0) = 0,35 , а для предпочтительных ПСП t(k=5)=2³+1=9.

Рассмотрим обобщенную структуру цифрового автомата рис.2.6 формирования М – последовательностей.

Пусть используется алфавит из p различных символов: 0,1,2,3,…,p-1, образующих множество символов . Cимволы на выходе триггеров в j –м такте равны: x_1,j, x_2,j… x_l,j… x_k,j , а множители . Операция умножения в умножителе X производится по модулю , т.е. . Для сохранения однозначности значения p -простые числа.

T₁

T₂

T₃

T_k

x_0,j x_1,j x_2,j x_3,j x_k,j

X

X

X

X

X

C₀

C₁ C₂ C₃ C_k-1 C_k

Рис.2.6. Цифровой автомат формирования М-последовательности.

Правило умножения двух чисел по модулю p: два числа перемножаются обычным образом, а их произведение переводится в конечное множество S с помощью сравнения по модулю p.

Примечание [17]. Два целых числа m и n сравнимы по модулю М, т.е. , где М - целое число, если разность (m - n) делится на М без остатка. Это значит, что m и n при делении на М дают одинаковые остатки. Например, числа: b ≡12 ≡ 2 ≡ −3 (mod 5) сравнимы по mod 5, так как при m=2, n= −3 → (m − n)= 2 − (−3) ≡ 0(mod 5), а 12 ≡ 2(mod 5).

Если все числа m и n при делении на mod M дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы, то их можно объединить в один класс, который называют классом вычетов по mod M, а эти числа называют вычетами этого класса. Таким образом, все числа можно разбить на М непересекающихся классов вычетов: С₀ , С₁ ,….С_{М -1} .

Таким образом, умножение по модулю p записывается как , при ; например, если a=2, b=4, то d=8, и для p=5 имеет , т.е. число 8, которого нет в множестве S, переводится в число 3. В табл. 2.3 дано правило умножения по mod 5, а в табл. 2.4 правило сложения mod 5.

Таблица 2.3. Умножение по mod 5

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Умножение любого числа на нуль означает, что символ на выходе умножителя всегда нуль. Это эквивалентно разрыву цепи между триггером и сумматором и умножитель может быть опущен.

Таблица 2.4. Сложение по mod 5.

	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

В результате операций умножения и сложения получаются только элементы множества S.

Символ на входе T₁ сдвигающего регистра (рис.2.6) на j – такте равен: . (2.33)

Это линейное рекуррентное уравнение позволяет по известным k символам на выходах триггеров найти символ , который в последующем j+1 такте перейдет на выход T₁. Для j+1 – такта состояние РС характеризуется переменными:

. (2.34)

Анализ работы цифрового автомата формирования ПСП на основе рекуррентного уравнения (2.33) показывает, что его работа полностью характеризуется характеристическим многочленом:

, (2.35)

где k – максимальное число ячеек задержки РС (степень свободы состояния генератора), а коэффициенты связаны с множителями соотношением:

. (2.36)

В частности, для двоичных последовательностей, состоящих из символов 1 и 0 (p=2) , .

Характеристический многочлен f(x) степени k формирователя М – последовательности должен быть:

1. неприводимым, то есть его нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней;

2. первообразным (примитивным) относительно двучлена , то есть должен делить без остатка.

Таким образом, при заданных N, k и p структура регистра для формирования М–последовательности с периодом определяется характеристическим многочленом, в качестве которого необходимо взять первообразный многочлен степени k .

Значения (k+1) коэффициентов..а_k а_k--1 …а₁ а₀ характеристических многочленов для k=3 -11 приведены в таблице [1, таблица 3.9], например:

● для k =3 существует два характеристических многочлена: 1011 и 1101. Коэффициент a₀=1 всегда по определению. Если коэффициент или соответствующий множитель С_l в (2.36) равен 1, то выход l-го триггера подключен к сумматору по mod 2, например, генератор ПСП рис.2.4 соответствует многочлену с коэффициентами 1011;

● для k =5 существует семь многочленов, два из которых (101001 и 111011) формируют предпочтительные ПСП Голда с периодом и тремя уровнями ВКФ.

Число М – последовательностей Q ансамбля ПСП равно

, (2.37)

где - функция Эйлера [1, 17], равная количеству чисел в ряду 1,2,…,N-1 взаимно простых с числом N, где , а k – число разрядов в РС.

Если N–простое число, то . Однако, не все периоды N

М – последовательностей являются простыми числами и поэтому зависимость Q от k нелинейная.

Длительность (период) М–последовательности , например, для РС при f _Т =1/τ₀ =1МГц и k = 43 равна 101,7 дня.

Характеристики апериодических корреляционных функций M – последовательностей

АКФ периодических М – последовательностей имеет вид, представленный на рис.2.5, где боковые пики равны - . Однако, АКФ апериодической М – последовательности рис.2.7 (N=127) имеет боковые пики существенно большие, чем у периодической ПСП.

127

120 N=127

10 -

0

- 60 - 30 30 60 90 120

-10

Рис.2.7. АКФ апериодической М – последовательности с N=127.

В табл. 2.5 приведены для сравнения обобщенные характеристики КФ М – последовательностей в апериодическом режиме и СП (см. раздел 2.3), где:

-среднеквадратическое значение боковых пиков определено дисперсией

; (2.38)

-среднее значение модулей боковых пиков

; (2.39)

-среднеквадратическое значение модулей пиков определено дисперсией

; (2.40)

-максимальные значения бокового пика .

Таблица 2.5

Корреляционные функции
АКФ М – последовательностей	0,4	0,32	0,26	0,7…1,25
ВКФ М – последовательностей	0,73	0,54	0,48	1,4…5
КФ (АКФ и ВКФ) случайных последовательностей	0,7	0,56	0,43	2,1…3,5

Цифры, приведенные в таблице, не нормированы, т.е. умножены на и определяют превышение σ_R , , и уровня .

Отметим, что среднее значение боковых пиков равно (сравни с (2.22)для СП), а ВКФ М – последовательностей имеют большие боковые пики, чем АКФ. Однако, характеристики этих ВКФ близки к статистическим характеристикам КФ СП: , , что и обусловило их название “псевдослучайные последовательности”.

Следует отметить также, что уровень для различных М – последовательностей может превышать значение 1/ в 5…6 раз.

2.4.2. Многофазные сигналы. Амплитудно-фазоманипулированные

сигналы

Максимальные уровни боковых пиков апериодических АКФ ПСП конечной длительности можно уменьшить, применяя многофазные сигналы и амплитудно-фазоманипулированные сигналы.

Многофазные сигналы можно построить дискретизацией аналоговых сигналов с ЧМ, например, линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ). На рис.2.8, изображена зависимость фазы θ от t огибающей сигнала с ЛЧМ (рис.1.1) в форме записи (1.15).

Рис.2.8. Зависимость фазы θ огибающей сигнала с ЛЧМ

, где .

ЛЧМ сигнал длительностью Т можно представить в виде последовательности N радиоимпульсов с мгновенной частотой, линейно изменяющейся в течение импульса Значения линейно-ломанной аппроксимирующей дискретной функции совпадают с непрерывной θ(t) в точках, кратных τ₀, т.е. θ_n=θ (n τ₀), n = 0,1,…N-1.

Если в качестве начальных фаз многофазного сигнала ЧМ взять

θ_фn=(θ_n+θ_n+1)/2, то начальные фазы n-го импульса многофазного сигнала, соответствующего аналоговому сигналу ЛЧМ, равны:

θ_фn=(n²+n) π/N. (2.41)

Меняя β (т.е. θ_фn ) получим систему многофазных сигналов.

Модуль АКФ такого многофазного сигнала равен

. (2.42)

В качестве аналогового сигнала можно взять также сигнал с квадратичной частотой модуляцией (КЧМ). Известно, что модули АКФ этих аналоговых и соответствующих многофазных сигналов близки, а боковые пики

Амплитудно-фазоманипулированные (АФМ) сигналы. Можно показать [1], на основании (2.8), что идеальной АКФ ФМ ПСП без боковых пиков соответствует бесконечная ПСП. Реальные конечные ПСП, уменьшающие боковые пики АКФ ПСП символов a_n, n=0,1…N, можно построить, уменьшая амплитуды крайних оставленных и отброшенных символов бесконечной ПСП, отсчитываемых от середины ПСП. При этом известно, что лучшим АФМ сигналом является ПСП символов рис.2.9а с квадратичным фазовым спектром Ψ(ω) (2.7) КП и огибающей (1.13) с косинусной формой, т. е. пик - фактором .

Если произвести двоичное квантование (клипирование) по уровню АФМ сигнала (рис.2.9а), т.е. получить (рис.2.9б), то получим ФМ сигнал, АКФ которого будет обладать большими, но все же достаточно малыми боковыми пиками.

Рис.2.9. АФМ сигнал (а), ФМ сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (в).

Например, АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром при N=37 имеет максимальный боковой пик АКФ 1,5%. При этом максимальный боковой пик АКФ ФМ сигнала (рис.2.9в) равен 5/37=0.135, что несколько меньше Можно показать, что среднеквадратичное значение боковых пиков АКФ таких ФМ сигналов (при оптимальном выборе их параметров) равно т.е. такие сигналы можно отнести к оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.

Минимаксными ФМ сигналами называют сигналы, у которых максимальные боковые пики АКФ минимальны.