26. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сопоставим с рядом

a1 + a2 + a3 + ... (39)

ряд

|a1| + |a2| + |a3| + ..., (40)

составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Если сходится ряд (40), то сходится и исходный ряд (39).

В самом деле, пусть ряд

b1 + b2 + b3 + ... (41)

есть ряд, состоящий из всех положительных (или равных нулю) членов нашего ряда (39) [причем их взаимное расположение таково же, как и в ряде (39)]. Пусть, далее,

c1 + c2 + c3 + ... (42)

есть ряд* абсолютных величин отрицательных членов ряда (39) (также расположенных в том порядке, в котором эти члены следуют друг за другом в исходном ряде).

Каждый из рядов (41) и (42) получается из сходящегося положительного ряда (40) путем вычеркивания части его членов (например, чтобы из (40) получить (41), надо вычеркнуть из (40) числа c1, c2, c3, ...). Поэтому в силу теоремы 4 ряды (41) и (42) сходятся. Обозначим их суммы соответственно через B и C.

Обозначим, далее, через An, Bn и Cn частичные суммы рядов (39), (41) и (42). Пусть среди чисел

a1, a2, a3, ..., an

имеется m(n) неотрицательных и p(n) отрицательных.

Тогда

An = Bm(n) - Cp(n).

Правая часть этого равенства с ростом n стремится к разности B - C. Значит, и левая часть стремится к тому же пределу. Теорема доказана.

27. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Основные свойства мажорируемых рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).

Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуют особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве D , если

Замечания.

1. Равномерная сходимость рассматривается только на множестве.

2. Наименьшее значение Nmin , при котором выполняется заключительное неравенство, для

каждого свое, но, в отличие от обычной сходимости на D, существует наибольшее значение из всех наименьших N: , которое и фигурирует в определении.

Будем обозначать равномерную сходимость значком « »:

Критерий Коши равномерной сходимости формулируется следующим образом:

Примеры.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (достаточный признак равномерной сходимости).

Пусть сходится ряд и сходится

равномерно на множестве D}

Пример.

28. Степенные ряды. Теорема Абеля (док-во). Интервал сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где - числа, называемые коэффициентами ряда (некоторые из них могут быть нулями).

При степенной ряд принимает вид

Теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке х 0 Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по х на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех х , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по р на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение р называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

29. Ряд Тейлора. Условие разложения функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций: exp x, sinx, cosx, ln(1+x).

, где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций: exp x, sinx, cosx, ln(1+x).

для всех