Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Teoria-Lin_Al.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
10.79 Mб
Скачать

20. Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения неоднородного оду с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Метод пригоден для линейных уравнений (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).

Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде

где - непрерывно дифференцируемые функции от x;

- фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; Н - порядок уравнения.

Функции определяются из системы:

где - правая часть заданного уравнения.

Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m= max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в виде , где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с

21. Бесконечная числовая последовательность и числовой ряд. Частичная сумма ряда, сумма ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды, остаток ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел

(действительных или комплексных) Числовым рядом называется выражение вида: Сокращенно ряд обозначают следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, - общим членом ряда.

Сумма первых n членов ряда обозначается символом Sn и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом, Sn = u1 + u2 + ... + u n, или

Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®Ґ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда. Если ряд сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут S = u1 + u2 + ... + u n + ...

Если же при n®Ґ сумма Sn не имеет предела или то ряд называется расходящимся и не имеет суммы.

Ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием его первых N членов называется n-ым остатком ряда.

22. Необходимый признак сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходиться, то общий член ряда а от н стремиться к нулю при , т.е. Т.о. если , то ряд расходится.

23. Простейшие свойства сходящихся рядов (сложение и вычитание рядов, умножение ряда на число, отбрасывание конечного числа членов ряда).

а) Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

б) Если ряд сходится, то

в) Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство

г) Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

д) Если ряд сходится, то .Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.

25. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница (док-во). Оценка суммы и остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница. Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Признак Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине)

2. Тогда этот ряд сходится.

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный рядсходится условно. Строгая положительность существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено

2.

3. .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]