16. Общее и частное решения. Задача Коши.
Если уравнение
(21.1) можно разрешить относительно у",
то оно имеет вид
21,1
О: Задача нахождения
решения уравнения (21.2),
удовлетворяющего
начальным условиям называется задачей
Коши.
Т. (существования и единственности решения ОДУ 2-го порядка): Если функция (х,у,у') и ее частные производные
(х, у, у'),
(х, у, у') непрерывны в окрестности т
.
в пространстве переменных (х, у, у'), то
в окрестности т. существует единственное
решение задачи Коши: у" = (х, у, у'),
Теорему приводим без доказательства.
О: Общим решением
дифференциального уравнения (21.2)
называется функция
зависящая от двух произвольных постоянных
при следующих условиях:
1) она является решением (21.2) при любых значениях
2) при любых начальных
условиях
существуют единственные
значения
чт
удовлетворяет
данным начальным условиям, т.
D
— области решения.
17. ОДУ 2-ого порядка
допускающие понижение порядка.
18. Однородные оду с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения.
Для решения
неоднородного линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
необходимо найти
общее решение
соответствующего однородного уравнения
а также одно частное
решение
неоднородного уравнения. Тогда общее
решение неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
Для поиска частного
решения неоднородного уравнения в
случае, если
-- постоянные, можно использовать метод
неопределенных коэффициентов. А именно,
если является многочленом ф от х с
постоянными коэффициентами, либо
есть сумма или произведение указанных
функций, то частное решение можно искать
в таком же виде, но с другими коэффициентами,
подлежащими определению. Исключение
составляют особые (резонансные) случаи,
когда либо 1) -- многочлен, и
является корнем кратности
характеристического уравнения, либо
2)
, и
являются корнями кратности
характеристического уравнения. В этих
особых случаях частное решение отличается
от правой части уравнения не только
постоянными коэффициентами, то и
дополнительным множителем .
Для решения
неоднородного дифференциального
уравнения малого порядка можно
использовать метод Лагранжа (метод
вариации произвольных постоянных).
Пусть
и
-- независимые частные решения уравнения
. Тогда решение уравнения
по методу Лагранжа находится в виде
, где а и б -- функции от х , удовлетворяющие
системе дифференциальных уравнений:
Следовательно,
Решив полученные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, получим и общее решение исходного дифференциального уравнения.
19. Неоднородные оду с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
Уравнение
(9.1) называется линейным
дифференциальным уравнением n-го порядка
с постоянными коэффициентами;
- постоянные вещественные числа. Если
функция
) не равна тождественно нулю, то иногда
говорят, что уравнение с правой частью.
Уравнение
(9.2) называется
линейным однородным дифференциальным
уравнением n-го порядка с постоянными
коэффициентами;
- постоянные вещественные числа. Т. к.
функция ф от х) равна тождественно
нулю, то иногда говорят, что уравнение
без правой части.
Уравнение
(9.3) называется
характеристическим уравнением, а его
корни – характеристическими числами
уравнения (9.2). Система функций
называется линейно независимой в
интервале а -б если тождество(
- постоянные числа)
может выполняться
только когда все
. Если к тому же каждая из функций
является частным решением однородного
уравнения (9.2), то система решений
одно-родного уравнения называется
фундаментальной системой решений.
Если
фундаментальная система решений найдена,
то функция
дает общее решение
однородного уравнения (9.2 (все с от к
-константы). Фундаментальная система
решений имеет вид :
Функция
дает общее решение однородного
уравнения (9.2) ( все с от к - константы
).