9. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона- Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример:

Пусть функция а) определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , б) , в) функция непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда . Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать. Пример:

10. ОДУ - определения. Порядок дифференциального уравнения. ОДУ 1-ого порядка, его решения. Определение общего и частного решения. Задача Коши для ОДУ 1-ого порядка.

ОДУ называется уравнение, связывающее независимую Х, искомую функцию y=f(x), ее производные y’, y’’ … Порядком ОДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

ОДУ 1 порядка: F(x,y,y’)=0, y’=f(x,y). Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения: если функция f(x,y) и ее частная производная по y (без f) непрерывны в некоторой области D на плоскости OXY, содержащей (x0, y0), то существует единственное решение этого уравнения y=φ(x), удовлетворяющее условию x=x0, y=y0.

Общее решение ОДУ 1 порядка – y=φ(x,C), где С – производная постоянная, удовлетворяющая условию: а) удовлетворяет ОДУ при любом С, б) каково бы ни было начальное условие, можно найти такое С=С0, что функция y=φ(x,C) удовлетворяет данному начальному условию; при этом предполагается, что x0y0 принадлежат той области изм. Области x и y, в которой выполняется условие Теорему существования единственности решения. y=φ(x,C0) – частное решение ОДУ 1 порядка. Задача отыскания частного решения удовлетворяющего условию y=y0 (при x стремится к x0) – задача Коши. Рассмотренная Теорема устанавливает условие существования условия единственного решения Коши.

Задача Коши (задача с начальным условием): Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0 (9) (начальное условие (9) часто записывают в форме ).

(существование и решение Коши): Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).

11. Геометрическая интерпретация решения оду. Интегральные кривые. Поле направлений.

Уравнение в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

12. ОДУ с разделяющимися переменными.

Так называются уравнения вида или f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy=0. Это уравнение сводится к разделенным переменным путем деления обеих частей на g1(y)* f2(x).

13. Однородные ОДУ.

Уравнение вида Заменой z = y/x это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z = z(x)

14. Линейные ОДУ.

Под линейным ОДУ первого порядка понимают уравнение, которое является линейным по отношению к неизвестной функции и ее производной: в данном случае и представляют собой заданные непрерывные функци от х или являются постоянными. Y=U*V – сводится к 2 ур. с разделенными переменными.

15. Уравнение Бернулли.

, y=U*V. В рез-те замены данное уравнение сводится к 2.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) 1-ого порядка где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .