1.4.Погрешность произвольной функции

Пусть задана произвольная функция u = f(x₁, x₂, …,x_n), где x₁, x₂, …,x_n — приближенные величины, а — их известные предельные абсолютные погрешности. Тогда предельная абсолютная погрешность результата — функции u — для малых вычисляется по формуле [7]:

(1.17)

Как видно из формулы (1.17), для ее применения требуется, чтобы функция f(x₁, x₂, …,x_n) была дифференцируемой по всем переменным.

Пример 1.17. Вычислить функцию , если и . Найти предельные абсолютную и относительную погрешности результата и определить число верных значащих цифр.

Решение. Применяя формулу (1.17), имеем

Для функции u находим . Учитывая предельную абсолютную погрешность _u ≈ 0,04, получаем, что результат имеет две верные значащие цифры в узком смысле. Ответ можно записать в виде u = 1,4 ± 0,04.

1.5.Представление чисел в компьютере и погрешность

Так как для записи числа в компьютере выделяется ограниченная область памяти, то числовые значения ограничены. Границы значений зависят от типа числа и конкретной среды программирования или математического пакета. В таблице 1.1 представлены диапазоны значений чисел различных типов в языке программирования C.

Табл. 1.1

Тип	Размер памяти в байтах	Диапазон возможных значений
short int	2	–32768 <= n <= 32767
long int	4	–2147483648 <= n <= 2147483647
unsigned short int	2	0 <= n <= 65535
unsigned long int	4	0 <= n <= 4294967295
float	4 байта = 32 бита 1— знак, 8 — экспонента, 23 — мантисса	Приблизительно 1,17∙10–38 < x < 3,4∙10+38
double	8 байт = 64 бита 1— знак, 11 — экспонента, 52 — мантисса	Приблизительно 2,22∙10–308 < x < 1,79∙10+308
long double	10 байт = 80 бит	3,4∙10–4932 < x < 3,4∙10+4932

Если при вычислениях для переменной типа float будет получено число с порядком меньшим чем –38, оно будет заменено нулем, а если порядок числа превысит 38, то произойдет так называемый «аварийный останов» (система прекратит выполнение программы пользователя) и выведено сообщение о переполнении порядка. Для переменной типа float число с порядком меньшим чем –38 является нулем, а число с порядком большим, чем 38 — бесконечностью. Для переменной типа double нулем являются значения с порядком меньшим чем –308, а бесконечностью — значения с порядком большим, чем 308.

В таблице 1.2 приведены константы для чисел с плавающей точкой стандартной библиотеки языка программирования C.

Табл. 1.2

Константа	Описание константы	Значение
FLT_DIG	Количество верных десятичных цифр в объекте типа float	6
FLT_EPSILON	Минимально возможное значение переменной типа float, такое, что 1.0 + FLT_EPSILON ≠ 1.0	1.192093e–07
FLT_MAX	Максимальное число с плавающей точкой типа float	3.402823e+38
FLT_MIN	Минимальное число с плавающей точкой типа float	1.175494e–38
DBL_DIG	Количество верных десятичных цифр в объекте типа double	15
DBL _EPSILON	Минимально возможное значение переменной типа double, такое, что 1.0 + DBL_EPSILON ≠ 1.0	2.220446e–16
DBL _MAX	Максимальное число с плавающей точкой типа double	1.797693e+308
DBL _MIN	Минимальное число с плавающей точкой типа double	2.225074e–308
LDBL_DIG	Количество верных десятичных цифр в объекте типа long double	18
LDBL _EPSILON	Минимально возможное значение переменной типа long double, такое, что 1.0 + LDBL_EPSILON ≠ 1.0
LDBL _MAX	Максимальное число с плавающей точкой типа long double
LDBL _MIN	Минимальное число с плавающей точкой типа long double

В программах OpenOffice Calc, Microsoft Excel и Mathcad границы значений числа приблизительно соответствуют типу double языка C. Мантисса может содержать до 15 десятичных цифр. Например, число десятичных знаков числа с плавающей точкой в программе Excel можно найти очень простым способом: записать в ячейку формулу =1/3 и с помощью команды меню «формат ячейки» определить формат «числовой с 20 знаками после запятой». Мы увидим, что мантисса числа содержит 15 (значащих) десятичных цифр, остальные цифры равны нулю.

Если в программах Excel и Mathcad вычислить значение 1 + 10 ^–15, то получим ноль, а значение выражения 1 + 10^–14 будет равно 1,00000000000001. Это число содержит 15 значащих цифр. Предельной относительной погрешностью представления числа с плавающей точкой в программах Excel и Mathcad можно считать 10 ^–14.

Относительная погрешность представления чисел с плавающей точкой («машинное эпсилон») определяется как наименьшее положительное число ε, при сложении которого с единицей получается отличное от единицы число. Это значение зависит от количества знаков, которые можно записать в мантиссе числа.

Для приблизительной оценки значения относительной погрешности представления можно предложить следующий алгоритм:

1) ε = 1;

2) ε = ε /2;

3) Если 1 < 1 + ε, то переходим к 2), иначе — переходим к 4);

4) Выводим значение 2ε.

Вычислим по этому алгоритму в программе Excel значение ε. Для этого вводим в ячейке A1 значение 1, в ячейке A2 формулу = A1/2, а в ячейке B2 — формулу = 1 + A2. Выделим две ячейки A2:B2 и маркером заполнения протянем вниз до строки 50. В столбце B получим результаты сложения с единицей убывающих чисел из столбца A. В таблице 1.2 приведены последние пять строк вычисленных значений. Очевидно, что за предельную относительную погрешность можно принять значение ε = 7,1054310 ^–15, или, если округлить, ε ≈ 10 ^–14, и максимальное число значащих цифр в мантиссе составляет 15.

Табл.1.2

	A	B
46	2,84217E–14	1,00000000000003000000
47	1,42109E–14	1,00000000000001000000
48	7,10543E–15	1,00000000000001000000
49	3,55271E–15	1,00000000000000000000
50	1,77636E–15	1,00000000000000000000

Создадим в программе Excel макрос — пользовательскую функцию для определения значения ε.

Выполним команду меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic»; в открывшемся окне выберем меню «Insert — Module» и введем описание функции:

Function epsilon()

eps = 1

2 eps = eps / 2

If 1 < 1 + eps Then GoTo 2

epsilon = eps

End Function

На рис. 1.2 показано окно Редактора Visual Basic с введенным текстом программы.

Перейдем на лист Excel и введем в любой ячейке формулу = epsilon(), получим в этой ячейке значение

ε = 2,22045E-16 = 0,000 000 000 000 000 222045.

Отличие полученного значения ε = 2,22045E-16 от значения ε = 7,1054310 ^–15 из таблицы 1.2 объясняется особенностями вывода значений в ячейки программы Excel. При выводе числовых значений в форме с фиксированной запятой количество значащих цифр равно 15, остальные цифры отбрасываются.

Применим алгоритм вычисления «машинного эпсилон» в системе программирования Mathcad. Однако, здесь нас ждут интересные особенности. Введем в Mathcad следующую программу:

Мы видим, что число x = 9,09494701772928∙10 ^–13 в неравенстве 1 < x + 1 программа Mathcad принимает за ноль, но если мы выполним сложение 1 + 9,09494701772928∙10 ^–13, то получим 1,00000000000091. Это означает, что в неравенствах в программе Mathcad относительная погрешность составляет 10 ^–12. Интересно, что в программе Excel и в неравенствах та же относительная погрешность 10 ^–14, что и в представлении числа с плавающей точкой. Чтобы проверить это в любой ячейке листа Excel введем неравенство в виде формулы =1+10^–14>1. Значение будет равно «ИСТИНА». А если ввести формулу =1+10^–15>1, то получим значение «ЛОЖЬ». Обращаем здесь внимание на то, что в выражении 10^–15 не обязательно брать в скобки показатель степени –15.

Вычислим «машинное эпсилон» для языка программирования Borland C++ (версия 5.02). Для этого составим следующую программу:

#include <stdio.h>

int main(){

float eps2,eps = 1,x = 1,y;

do{

eps = eps/2; y = x + eps;

}while (x < y); eps2 = 2* eps;

printf("\neps = %e:", eps2);

return 0;

}

В результате выполнения программы получим eps = 1.192093e–07. Это значение совпадает с числом FLT_EPSILON = 1.192093e–07, приведенным в таблице 1.1 (Минимально возможное значение переменной типа float, такое, что 1.0 + FLT_EPSILON ≠ 1.0). Если в этой программе мы заменим тип float на тип double, то получим значение eps = 2.220446e–16, которое совпадает с константой DBL_EPSILON.

Задания для самостоятельной работы

1. Ток протекает по резистору 10 ом, сопротивление задано с точностью 10%. Ток равен . Согласно закону Ома, падение напряжения на резисторе равно произведению тока на сопротивление. Какова относительная и абсолютная ошибки вычисленного значения напряжения? Ошибками округления пренебречь.

2. Средняя длина авиалинии от Нью-Йорка до Сан-Франциско равняется 2700 милям, но может быть на 200 миль короче или длиннее в результате вариаций маршрута самолета. Средняя скорость самолета на этой линии составляет 580 миль в час, но может оказаться на 60 миль в час больше или меньше из-за ветра. Каковы верхний и нижний пределы времени полета?

3. Реактивное сопротивление емкости дается формулой , где — реактивное сопротивление емкости в Омах, — частота в герцах, — емкость в фарадах. Указать границы возможных значений для и

4. Положение свободно падающего тела в вакууме дается формулой , где — ускорение свободного падения в , — время, прошедшее с начала падения в . Предположим, что точно, но время может быть измерено с точностью до 0,1 сек. Покажите, что с ростом абсолютная ошибка вычисленного значения увеличивается, но относительная ошибка — уменьшается.

5. Вычислить значение функции u и ее предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности ее аргументов. Найти количество верных значащих цифр функции u (в широком и узком смысле). Параметры m и n заданы точно. Данные брать из табл.1.3.

Таблица 1.3.

№	u	x	y	m	k
1)	m sin(x+ ky)	3,15  0,02	1,15  5%	2	1,5
2)	m sinx + cos(1+ ky)	1,25  0,002	1,26  10%	3	1,6
3)	x m + y k	1,23  0,02	1,58  5%	4	1,7
4)	sin(x – m) + cosky	1,12  0,01	1,28  2%	5	1,8
5)	(x m + y k) – 1	1,32  0,01	1,97  2%	6	1,9
6)	ln(mx + ky)	3,56  0,04	2,56  2%	7	2,1
7)	mx2 + ky2	1,84  0,04	6,21  2%	8	2,2
8)	log2(mx + ky)	5,12  0,02	1,01  2%	9	2,3
9)	(x 2 – m + ky – 2)	3,44  0,02	1,21  3%	8	2,4
10)	cos(mx + ky)	4,11  0,02	1,06  4%	7	2,5
11)	m e x + k e – y	1,32  0,02	1,12  5%	6	2,7
12)	e mx + ky	2,12  0,02	1,52  6%	5	2,9
13)	cos(xm + ky)	2,11  0,02	1,1  10%	4	2,5
14)	3 mx + 2 ky	1,54  0,002	1,5  8%	3	2,6
15)	m(x2 + ky2)	1,12  0,02	1,6  2%	2	2,7
16)	3 mx ∙ 2 ky	1,22  0,02	1,9  2%	9	2,8
17)	tg(mx – ky)	0,42  0,02	0,14  2%	2	0,2
18)	lg(mx – ky)	1,45  0,002	1,5  2%	2	0,1
19)	m x + k e – y	1,22  0,02	0,1  1%	6	3,5
20)	m e x + k – y	0,52  0,004	2  5%	5	3,4

6. Опытным путем определить наименьшее значение с плавающей точкой, наибольшее значение и относительную погрешность представления числа для программы Калькулятор в Windows.