Лабораторная работа № 2 «Изучение основных характеристик и графического представления модели Гомпертца-Мэйкхама для описания распределения длительности события»

Цель работы:

• Знакомство с характеристиками вероятностного описания длительности события.

• Изучение моделей Гомпертца и Гомпертца-Мэйкхема.

• Графическое представление функции надёжности, интенсивности отказа, кумулятивного риска.

Задание для домашней подготовки:

1. Ознакомиться с описанием распределения длительности события, понятиями кумулятивного риска, интенсивности отказа, функции надёжности (дожития) [4], с.19 -21.

2. Разобрать модели распределений для описания распределения длительности события и модель Гомпертца-Мэйкхема [4], с.22 -25.

3. Ознакомиться с оператором MATLAB построения графиков fplot [1], с. 52-55.

4. Ознакомиться с процедурами MATLAB рисования графиков в различных частях одного окна [2], с.70 -72.

Порядок выполнения лабораторной работы.

• Вызвать MATLAB.

• Открыть новый файл для редактирования, записав в первой комментарий:

% программа выполнения лабораторной работы № 2

% работу выполнил студент ….. группы ….. задание ....

Операторы, реализующие выполнение задания по лабораторной работе должны заноситься в этот файл.

• Сохранить файл под именем Lab2.m

Задание 1. Построить график функции дожития для модели Гомпертца, используя функции plot и fplot.

Функцией дожития (надёжности) называется вероятность того, что изучаемый процесс продлится не меньше заданного времени t

,

Т обозначает случайную величину, имеющую смысл длительности процесса (длительности безотказной работы прибора, длительность болезни и т.д.).

Для модели Гомпертца функция дожития имеет вид

. (2.1)

1. Получите у преподавателя значения параметров a и b. Сформируйте вектор значений переменной t в диапазоне от 0 до 30 с шагом 0.1, для которых будут вычисляться значения функция дожития, оператором

t=0:0.1:30;

2. Вычислите значения функции дожития для модели Гомпертца по формуле (2.1) с помощью оператора

S=exp(-a/b*(exp(b*t)-1));

3. Запишите оператор построения кривой дожития

plot(t,S); xlabel(‘t’); ylabel(‘S(t)’); title(‘Survival by Gompertz using plot’);

4. Откройте в новом окне редактора пустой файл, запишите в него оператор вычисления функции дожития для модели Гомпертца по формуле (2.1). Оформите файл как файл-функцию GMP с входными параметрами а, b и t и сохраните его в рабочей директории в файле с именем GMP.m

function out=GMP(a,b,t)

out=exp(-a/b*(exp(b*t)-1));

5. В ранее открытом файле Lab2.m запишите операторы открытия нового окна, построения графика функции дожития для модели Гомпертца на интервале [0,30] с помощью оператора fplot и функции GMP

figure;

fplot(@GMP,[0,30]);

xlabel(‘t’); ylabel(‘S(t)’); title(‘Survival by Gompertz using fplot’);

6. С помощью команды run Lab2 выполните записанные операторы. Значения параметров, построенные графики внесите в отчёт о выполнении лабораторной работы. Сделайте вывод о близости графиков, построенных с помощью операторов plot и fplot.

Задание 2. Построение на одном графике графиков функции дожития для модели Гомпертца и функции дожития для модели Гомпертца-Майкхема

Для модели Гомпертца-Майкхема функция дожития имеет вид

. (2.2)

1. Получите у преподавателя значения параметров a, b и c. Сформируйте вектор значений переменной t в диапазоне от 0 до 30 с шагом 0.1, для которых будут вычисляться значения функция дожития, оператором

t=0:0.1:30;

2. Вычислите значения функции дожития для модели Гомпертца по формуле (2.1) и для модели Гомпертца-Майкхема по формуле (2.2) с помощью операторов

SG=exp(-a/b*(exp(b*t)-1));

SGM=exp(-a/b*(exp(b*t)-1)-c*t);

3. Запишите оператор построения кривых дожития на одном графике с выводом подписей к кривым

plot(t,SG,t,SGM);

xlabel(‘t’); ylabel(‘S(t)’); title(‘Survival by Gompertz and Gompertz-Mekham’);

legend(‘Gompertz’,’Gompertz-Mekham’);

5. С помощью команды run Lab2 выполните записанные операторы. Значения параметров и построенный график внесите в отчёт о выполнении лабораторной работы. Сделайте вывод о влиянии величины параметра с на крутизну падения кривой дожития.

Задание 3. Построить в одном окне графики функции надёжности для модели Гомпертца, график логарифма интенсивности отказа, график кумулятивного риска

Интенсивность отказа связана с функцией надёжности соотношением

.

Кумулятивным риском называется величина

.

Для модели Гомпертца выражения для интенсивности отказа и кумулятивного риска принимают вид

(2.3)

(2.4)

1. Получите у преподавателя значения параметров a и b. Сформируйте вектор значений переменной t в диапазоне от 0 до 30 с шагом 0.1, для которых будут вычисляться значения функция дожития, оператором

t=0:0.1:30;

2. Вычислите значения функции дожития для модели Гомпертца по формуле (2.1), интенсивности отказа по формуле (2.3) и кумулятивного риска по формуле (2.4) с помощью операторов

S=exp(-a/b*(exp(b*t)-1));

mu=a*exp(b*t);

H=a/b*(exp(b*t)-1);

3. Запишите операторы построения на разных графиках в одном окне кривой дожития, логарифма интенсивности отказа и графика кумулятивного риска

subplot(3,1,1); plot(t,S);

xlabel(‘t’); ylabel(‘S(t)’); title(‘Survival by Gompertz);

subplot(3,1,2); plot(t,log(mu));

xlabel(‘t’); ylabel(‘mu(t)’); title(‘Logmortality by Gompertz);

subplot(3,1,3); plot(t,H);

xlabel(‘t’); ylabel(‘H(t)’); title(‘Cumulative risk by Gompertz);

4. С помощью команды run Lab2 выполните записанные операторы. Значения параметров и построенные графики внесите в отчёт о выполнении лабораторной работы. Сделайте вывод о линейности логарифма интенсивности отказа ф модели Гомпертца.

Контрольные вопросы.

1. Вывести формулу для интенсивности в модели Гомпертца- Майкхема.

2. По какой формуле вычисляются кумулятивный риск и функция надёжности в модели Гомпертца-Майкхема?

3. В чём содержательная разница между моделями Гомпертца и Гомпертца- Майкхема?

4. В чём разница между опрераторами plot и fplot?

5. Какие операторы аннотирования графиков Вы знаете?

6. Что появится на экране в результате выполнения операторов subplot(2,2,2); fplot(@sin(x),[-pi,pi])?