3. Таблицы истинности

Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики - на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Однако для установления истинности или ложности сложных суждений опыт не помощник.

Мы договариваемся, или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой будем считать истинными, а когда — ложными. Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой истинно, а в каких - мы будем считать его ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся компонентами сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения - если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же она представляет ложное суждение, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицаний применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным.

a	а
и	л
л	и

Если исходное суждение истинно, то его отрицание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы договариваемся считать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

	а	b	а  b	а  b	а .b	а b	а  b
1.	и	и	и	и	Л	и	и
2.	и	л	л	и	и	л	л
3.	л	и	л	и	и	и	л
4.	л	л	л	л	л	и	и

Следует помнить, что союзы естественного языка гораздо богаче по своему смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотношениям истинности и ложности простых высказываний. Более тонких смысловых связей между этими высказываниями логические связки не учитывают. Поэтому иногда возникает довольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка.

Наиболее отчетливо различие между логическими связками и союзами естественного языка выступает в случае импликации. Союз «если..., то...» обязательно предполагает смысловую, содержательную связь между простыми суждениями, которые он соединяет. Импликация же эту связь игнорирует, для нее безразлично содержание суждений a и b, соединенных знаком «», важны лишь значения их истинности. Поэтому мы с полным правом можем утверждать, что импликация «Если Луна сделана из зеленого сыра, то Лондон находится во Франции» истинна, т. к. оба входящих в нее простых суждения ложны.

Упражнение № 4.7. Установите с помощью таблиц истинности истинны или ложны следующие суждения.

Пример: Тигры полосаты, но уголь бел. Данное суждение представляет собой конъюнкцию, соединяющую два суждения: "Тигры полосаты" и "Уголь бел". Первое из этих суждений истинно, второе - ложно. Смотрим в таблицу истинности для конъюнкции и обнаруживаем, что конъюнкция в целом ложна, если ложен хотя бы один из ее членов. Следовательно, данное конкретное сложное суждение в целом будет ложно.

Либо Земля вращается вокруг Солнца, либо Солнце вращается вокруг Земли

Оперу «Севильский цирюльник » написал М. П. Мусоргский или П. И. Чайковский

Если Брут и Кассий убили Цезаря, то Спартак был римским императором

Суждение а  b ложно, а суждение а истинно. Каково истинностное значение b?

Суждение а  b» истинно, а суждение а ложно. Каково истинностное значение b?

Суждение а  b истинно, а b ложно. Каково истинностное значение а?

Суждение а  b истинно, а а истинно, то можно ли что-нибудь сказать об истинностном значении следующих выражений:

а  (а  b)

(b  а)  а)

 а  ( а  b)

а   а

 а  (а  b)

Примеры студента:

Рассмотрим как определяется истинность или ложность сложного суждения  а  b

a	b	 а	 а  b
и	и	л	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	л	и	и

Упражнение № 4.8. Построить таблицы истинности для высказываний

1. f=[a(bc)][(ab) (ac)]

a	b	с	bc	a(bc)	ab	ac	(ab) (ac)	f
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

2. f=[a(bc)][(ab) (ac)]

a	b	с	bc	a  (bc)	ab	ac	(ab) (ac)	f
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

3. f=[a(bc)][(ab) (ac)]

a	b	с	bc	a  (bc)	ab	ac	(ab) (ac)	f
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л