2.2.7. Корреляционно-регрессивный анализ

Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования.

Различает два вида зависимостей между процессами:

1) функциональную;

2) стохастическую.

Статической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия.

Исследование корреляционных связей называется корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей –регрессионным анализом.

Целью корреляционного анализа является оценка тесноты связи между признаками.

Целью регрессионного анализа является установление формы зависимости.

3.1.Методика и порядок вычисления коэффициента корреляции

3.1.1.Линейный коэффициент корреляции.

Линейная связь между переменными Xi и Xj оценивается коэффициентом корреляции:

,

где Xi и Xj – исследуемые переменные; mXi и mXj – математические ожидания переменных; σX и σX – дисперсии переменных.

Выборочный коэффициент корреляции определяют по формуле:

,

или по преобразованной формуле:

,

где i =1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m, u = 1, 2, ..., N; N – число опытов(объем выборки); xi, xj – оценки математических ожиданий; SXi, SXj – оценки среднеквадратических отклонений.

Только при совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин Xi и Xj коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи между переменными. В противном случае коэффициент корреляции может только косвенно характеризовать эту связь[5].

3.1.2.Коэффициент парной корреляции

Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент парной корреляции позволяет:

• построить вариационные ряды для каждого из сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд чисел соответственно х и у;

• определить для каждого вариационного ряда средние значения (М₁ и М₂);

• найти отклонения (d_х и d_y) каждого числового значения от среднего значения своего вариационного ряда;

• полученные отклонения перемножить (d_x X d_y)

• каждое отклонение возвести в квадрат и суммировать по каждому ряду (Σ d_x² и d_y² )

• подставить полученные значения в формулу расчета коэффициента корреляции: 

при наличии вычислительной техники расчет производится по формуле: 

3.1.3. Ранговый метод

Ранговый коэффициент корреляции более пригоден по сравнению с обычным коэффициентом для характеристики корреляций в случаях нелинейной связи и для данных, распределение которых отличается от нормального.

Ранговый метод позволяет:

• составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд соответственно х и у. При этом представить первый ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив тех значений первого ряда, которым они соответствуют

• величину признака в каждом из сравниваемых рядов заменить порядковым номером (рангом). Рангами, или номерами, обозначают места показателей (значения) первого и второго рядов. При этом числовым значениям второго признака ранги должны присваиваться в том же порядке, какой был принят при раздаче их величинам первого признака. При одинаковых величинах признака в ряду ранги следует определять как среднее число из суммы порядковых номеров этих величин

• определить разность рангов между х и у (d): d = х — у

• возвести полученную разность рангов в квадрат (d²)

• получить сумму квадратов разности (Σ d²) и подставить полученные значения в формулу: