1.2 Парная линейная регрессия

Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогнозирования экономических процессов:

1. модели временных рядов,

2. регрессионные модели с одним уравнением,

3. системы одновременных уравнений.

Модель с одной объясняющей и одной объясняемой переменными – модель парной регрессии. Если объясняющих (факторных) переменных используется две или более, то говорят об использовании модели множественной регрессии. При этом, в качестве вариантов могут быть выбраны линейная, экспоненциальная, гиперболическая, показательная и другие виды функций, связывающие эти переменные.

Линейная регрессия представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием   зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной X:

,

где   - значения независимой переменной в i-ом наблюбдении, i=1,2,…,n. Принципиальной является линейность уравнения по параметрам  , . Так как каждое индивидуальное значение   отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, тогда вданную формулу необходимо ввести случайное слагаемое  , тогда получим:

Данное соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью, а   и  - теоретическими параметрами (теоретическими коэффициентами) регрессии,  - случайным отклонением. Следовательно, индивидуальные значения   представляются в виде суммы двух компонент – систематической   и случайной 

Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать и использовать все значения переменных X и Y генеральной совокупности, что невозможно. задачи регрессионного линейного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (x_i,y_i), i=1,…,n для переменных X и Y:

1. получить наилучшие оценки неизвестных параметров   и   ;

2. проверить статистические гипотезы о параметрах модели;

3. проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными.

Парная линейная регрессия - это причинная модель статистической связи линейной между двумя количественными переменными «x» и «у», представленная уравнением  , где х - переменная независимая, y - переменная зависимая. Коэффициент регрессии «b» и свободный член уравнения регрессии «a» вычисляются по формулам:

,

где r - коэффициент линейной корреляции Пирсона для переменных x и y; s_x и s_y - стандартные отклонения для переменных x и y; x,y - средние арифметические для переменных x и y.

Существуют два подхода к интерпретации коэффициента регрессии b. Согласно первому из них, b представляет собой величину, на которую изменяется предсказанное по модели значение ŷ_i = a + bx_i при увеличении значения независимой переменной x на одну единицу измерения, согласно второй - величину, на которую в среднем изменяется значение переменной y_i при увеличении независимой переменной x на единицу. На диаграмме рассеяния коэффициент b представляет тангенс угла наклона линии регрессии y = a + bx к оси абсцисс. Знак коэффициента регрессии совпадает со знаком коэффициента линейной корреляции: значение b>0 свидетельствует о прямой линейной связи, значение b < 0 - об обратной. Если b = 0, линейная связь между переменными отсутствует (линия регрессии параллельна оси абсцисс).

Свободный член уравнения регрессии a интерпретируется, если для независимой переменной значение x = 0 имеет смысл. В этом случае y = a, если x = 0. Качество (объясняющая способность) уравнения парной линейной регрессии оценивается с помощью коэффициента детерминации.

После построения уравнения регрессии необходима интерпретация и анализ, а также словесное описание полученных результатов с трактовкой найденных коэффициентов.

Задача №1